求める値は, 単位円を外接円にもつ $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円の半径 $r$ の最大値の逆数に等しい. この三角形において, 外心を $\mathrm O$ とおき, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ とおく.

(i)

$\triangle\mathrm{ABC}$ が鋭角三角形の場合. $\mathrm O$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部にある. $\triangle\mathrm{OCA},$ $\triangle\mathrm{OAB}$ において底辺を $\mathrm{OA}$ としたときの高さの和は $a$ 以下であるから, \[\triangle\mathrm{OCA}+\triangle\mathrm{OAB} \leqq \frac{a}{2}\] が成り立つ. 同様に \[\begin{aligned} \triangle\mathrm{OAB}+\triangle\mathrm{OBC} &\leqq \frac{b}{2}, \\ \triangle\mathrm{OBC}+\triangle\mathrm{OCA} &\leqq \frac{c}{2} \\ \end{aligned}\] が成り立つから, 辺々を加えると \[\begin{aligned} r(a+b+c) = 2\triangle\mathrm{ABC} &\leqq \frac{a+b+c}{2} \\ r &\leqq \frac{1}{2} \end{aligned}\] が得られる.

(ii)

$\triangle\mathrm{ABC}$ が直角三角形, 鈍角三角形の場合. $\mathrm O$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の辺上または外部にあり, $\triangle\mathrm{ABC}$ の内接円は半径 $1$ の半円の内部に収まるから,

$2r < 1$　つまり　$r < \dfrac{1}{2}$

が成り立つ.

(i), (ii) から, \[ r \leqq \frac{1}{2}\] が成り立つ. ゆえに, 三角形の内接円の半径に対する外接円の半径の比の最小値は $2$ である.

　内角の大きさが $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ $(\alpha \leqq \beta \leqq \gamma )$ である直角三角形でない三角形において $\tan\alpha,$ $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ が整数であるとして, それらの値を求めればよい.

(1)

まず, $\tan\alpha,$ $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ が満たす関係式を求める. $\alpha +\beta +\gamma = \pi$ であるから, 加法定理により \[\begin{aligned} \tan\gamma &= \tan (\pi -\alpha -\beta ) = -\tan (\alpha +\beta ) \\ &= -\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}\] が成り立つ. 分母を払って整理すると, \[\begin{aligned} (\tan\alpha\tan\beta -1)\tan\gamma &= \tan\alpha +\tan\beta \\ \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma &= \tan\alpha +\tan\beta +\tan\gamma \quad \cdots [1] \end{aligned}\] が得られる.

(2)

次に, $\tan\alpha,$ $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ の値を求める. 仮定 $\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$ により \[ 3\alpha \leqq \alpha +\beta +\gamma = \pi\] であるから, $0 < \alpha \leqq \dfrac{\pi}{3}$ である. よって, \[ 0 < \tan\alpha \leqq \sqrt 3\] であり, $\tan\alpha$ は整数であるから, \[\tan\alpha = 1\] である. この値を $[1]$ に代入して整理すると, \[\begin{aligned} &\tan\beta\tan\gamma = \tan\beta +\tan\gamma +1 \\ &\tan\beta\tan\gamma -\tan\beta -\tan\gamma +1 = 2 \\ &(\tan\beta -1)(\tan\gamma -1) = 2 \end{aligned}\] が得られる. $\tan\beta,$ $\tan\gamma$ が整数であること, $\dfrac{\pi}{4} \leqq \beta \leqq \gamma,$ $\beta +\gamma = \dfrac{3}{4}\pi$ から $\beta,$ $\gamma$ は鋭角であって $1 \leqq \tan\beta \leqq \tan\gamma$ であることに注意すると, \[ (\tan\beta -1,\tan\gamma -1) = (1,2)\] つまり \[ (\tan\beta,\tan\gamma ) = (2,3)\] がわかる. ゆえに, 求める値は $1,$ $2,$ $3$ である.

　平行移動, 回転移動により, 楕円 $C:\dfrac{x^2}{p^2}+\dfrac{y^2}{q^2} \leqq 1$ $(p,\ q > 0)$ について考えれば十分である. $C$ は単位円 $C_0:x^2+y^2 \leqq 1$ を $x$ 軸方向に $p$ 倍, $y$ 軸方向に $q$ 倍に拡大した図形である. よって, $C$ に内接する三角形 $T$ を $x$ 軸方向に $p^{-1}$ 倍, $y$ 軸方向に $q^{-1}$ 倍に拡大した三角形が $T_0$ で, $T$ の面積が $S,$ $T_0$ の面積が $S_0$ であるとき, $T$ が $C$ に占める面積の割合は \[\frac{S}{\pi pq} = \frac{pqS_0}{\pi pq} = \frac{S_0}{\pi}\] で, $T_0$ が $C_0$ に占める面積の割合に等しい. そこで, $C_0$ に内接する三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積 $S_0$ の最大値を求める. $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB}$ とおく. 正弦定理により \[\sin A = \frac{a}{2} \quad \cdots [1]\] であるから, \[ S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{abc}{4}\] が成り立つ. 相加・相乗平均の関係 \[\sqrt[3]{xyz} \leqq \frac{x+y+z}{3} \quad \cdots [2]\] を $x = a^3,$ $y = b^3,$ $z = c^3$ (いずれも正の数) に適用すると, \[ abc = \sqrt[3]{a^3b^3c^3} \leqq \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \quad \cdots [3] \] が得られる. $[2]$ の等号成立条件は $x = y = z$ であるから, $[3]$ で等号が成立するのは $a = b = c$ の場合に限る. $a = b = c$ のとき, $3$ 点 $\mathrm A,$ $\mathrm B,$ $\mathrm C$ は正三角形をなし, $[1]$ から $a = 2\sin 60^\circ = \sqrt 3$ であるので, \[ abc = \dfrac{3a^3}{3} = a^3 = 3\sqrt 3\] が成り立つ. したがって, これが $abc$ の最大値で, $S$ の最大値は \[\frac{3\sqrt 3}{4}\] である. ゆえに, 求める最大値は \[\frac{3\sqrt 3}{4}\div\pi = \frac{3\sqrt 3}{4\pi}\] である.