有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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有名問題・定理から学ぶ高校数学(480 問)

お知らせ

2022/05/02
『高校数学 至極の有名問題 240—文理対応・国公立大~難関大レベル』がエール出版社から発売になりました. 定理の証明問題や, 特別な意味をもつ問題に特化した問題集です. 何の変哲もない計算問題を修行のように解くだけの問題演習から抜け出して, 一歩先のより本質的な問題を解くことで, 数学的センスを磨き, 真の実力をつけることができます. 全国の書店や, Amazon (こちら), 楽天ブックス(こちら)などのオンライン・ストアでお求めいただけます.

有名問題

 このサイトでは,
問題設定・数値設定の動機が明確で素朴な問題
のうち, 将来的に知名度が高くなる可能性のある問題を含めて,
  • 古典的な(歴史的によく知られた, 由緒ある)問題, または
  • 重要な定理・深い理論的背景に基づいた問題, または
  • 応用面で重要な問題
「有名問題」と呼びます. その中から, 特に
高校数学の重要な概念・定理・公式を学ぶのにふさわしい問題
をまとめています(問題は随時, 追加・更新中). 多少難しい問題もありますが, 問題の動機がとことん突き詰められた, 素朴で本質的な問題ばかりを集めました. まずはこのような価値ある問題があることを知って, それを解くことを目標に勉強を進めてみてください. きっと数学の意義深さ, 楽しさを感じてもらえると思います.
 特に大学入試では, 「有名問題」やそのアレンジがよく出題されています. 「有名問題」を一定数解いていくことで, 数学的センスを磨き, 幅広く深い知識を身につけながら, 確実に実力をつけていくことができるので, 皆さまの受験勉強にぜひお役立てください(※1).
 問題のレベルは, 次の通りです.
†:基本, ‡:標準, ‡†:実戦, ‡‡:発展
 「◎」がついた問題を解けば, 要点の学習が一通りできます.
 「〃」がついた問題は, 前問の類題です.

 整数の性質 (数学 A → 新数学 A)

 ‡ 《連続する $n$ 個の正の整数の積》
整数の剰余
◎‡‡《フィボナッチ数列の性質》
整数の剰余
 ‡ 《ピタゴラスの $3$ つ組の性質(媒介変数表示)》
整数の剰余
◎‡ 《フェルマーの小定理と RSA 暗号系の原理》
合同式
 ‡ 《シェルピンスキー数》
合同式
 ‡ 《$1$ 次不定方程式と最大公約数》
$1$ 次不定方程式
◎‡†《$1$ 次不定方程式とイデアル》
$1$ 次不定方程式
 ‡ 《ユークリッドの補題》
$1$ 次不定方程式
 ‡ 《中国式剰余定理》
$1$ 次不定方程式
 ‡ 《フロベニウスの硬貨交換問題》
$1$ 次不定方程式
 † 《エラトステネスのふるいの原理》
素数
◎† 《シルヴェスター数列と素数の無限性》
素数
〃‡ 《フェルマー数の数列と素数の無限性》
素数
 † 《$2$ 個の平方数の和で表される素数》
素数
 ‡ 《$4n+1$ 型の素数の無限性》
素数
◎‡‡《$p$ 進付値の準同型性とその応用》
素因数分解の一意性
 ‡ 《$p$ 進付値の強三角不等式》
素因数分解の一意性
 ‡†《カーマイケル数の性質》
合成数
◎‡‡《ラメの定理》
ユークリッドの互除法
 ‡†《文字式で表された $3$ 数の最大公約数》
ユークリッドの互除法
 ‡†《ピタゴラスの $3$ つ組の公式の代数的証明》
$2$ 次不定方程式
◎‡†《ピタゴラスの $3$ つ組の性質(方程式)》
$2$ 次不定方程式
〃‡ 《ピタゴラスの $4$ つ組の性質(方程式)》
$2$ 次不定方程式
 ‡ 《$x^2-y^2 = a$ の整数解》
$2$ 次不定方程式
◎‡‡《ペル方程式の一般解》
$2$ 次不定方程式
 ‡ 《解をもたないペル方程式》
$2$ 次不定方程式
 ‡ 《円周の方程式の有理数解》
$2$ 次不定方程式
 ‡ 《周長と面積が等しい直角三角形》
$2$ 次不定方程式
 ‡†《非自明な平方四角錐数》
高次不定方程式
 ‡‡《フェルマー予想の $n = 4$ の場合》
高次不定方程式
 ‡†《エジプト分数に関する不定方程式》
分数型の不定方程式
◎‡ 《$1$ 種類の正多角形による平面充填形》
分数型の不定方程式
〃‡†《多種類の正多角形による平面充填形》
分数型の不定方程式
 ‡†《カタラン予想に関する方程式》
指数関数を含む不定方程式
 ‡†《指数関数を含む方程式の整数解》
指数関数を含む不定方程式
◎‡†《$1$ 未満のエジプト分数の最大値》
不等式の整数解
◎‡ 《$n$ 進法における基本的な倍数判定法》
倍数判定法
 ‡†《$n$ 進法における特殊な倍数判定法》
倍数判定法
 ‡ 《有理数の分類》
小数
◎‡†《整数値多項式の特徴付け》
整数のその他の問題
 ‡†《有理数のエジプト分数による表示》
整数のその他の問題

 式と証明 (数学 II → 新数学 II)

◎‡ 《$3$ 次対称式の因数分解》
$3$ 次式の展開・因数分解
 ‡‡《タクシー数にまつわる方程式》
$3$ 次式の展開・因数分解
◎‡ 《くくり出し公式とフェルマーの小定理》
二項定理
 ‡ 《フロベニウス写像》
二項定理
◎† 《二項係数の和と交代和》
二項定理
〃‡ 《ファンデルモンドの畳み込み》
二項定理
〃‡ 《二項係数を含む多項式の和》
二項定理
◎‡†《整数値多項式に関するポリアの定理》
多項式の除法
◎‡ 《分数式に関するオイラーの公式》
分数式
◎‡ 《ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式》
恒等式
 ‡†《ブラーマグプタの恒等式とペル方程式》
恒等式
 ‡ 《ピタゴラスの $3$ つ組と $4$ つ組に関する等式》
恒等式
〃‡ 《アイゼンシュタインの $3$ つ組に関する等式》
恒等式
 † 《合比・除比・合除比の理》
比例式
◎† 《加比の理》
比例式
 † 《シュケの不等式》
比例式
◎† 《$2$~$4$ 変数の相加・相乗平均の不等式》
相加・相乗平均の不等式
 ‡ 《四隅までの距離の和の最小値》
相加・相乗平均の不等式
 ‡ 《因数分解と $3$ 変数相加・相乗平均の不等式》
相加・相乗平均の不等式
 ‡†《並び替えと相加・相乗平均の不等式》
相加・相乗平均の不等式
 ‡†《和・積の関係と相加・相乗平均の不等式》
相加・相乗平均の不等式
 ‡ 《レームスの不等式とオイラーの不等式》
相加・相乗平均の不等式
 ‡ 《ある恒等式とコーシー=シュワルツの不等式》
シュワルツの不等式
◎‡ 《三角不等式とマンハッタン距離》
三角不等式
 ‡†《三角不等式と方程式の解の評価》
三角不等式
 ‡ 《$2$ 乗平均平方根と相加平均の関係》
いろいろな不等式
◎‡ 《アルキメデスの開平法》
いろいろな不等式
 ‡ 《シューアの不等式》
いろいろな不等式
 ‡†《チェビシェフの和の不等式》
いろいろな不等式

Σ 数列 (数学 B → 新数学 B)

◎‡ 《多変数版のベルヌーイの不等式》
数学的帰納法
 ‡ 《数列の大小の比較》
数学的帰納法
 ‡ 《$2$ 次方程式の解のべき乗和で表される整数》
数学的帰納法
◎‡†《カッシーニの公式》
数学的帰納法
 ‡†《フィボナッチ数列の加法定理と $2$ 倍公式》
数学的帰納法
 ‡†《数列の和と $3$ 乗の和の関係》
数学的帰納法
◎‡†《ゼッケンドルフの定理》
数学的帰納法
 ‡†《$1$ 人飛ばしの継子立て》
数学的帰納法
◎‡ 《等差素数列の性質》
等差数列
 ‡†《公差 $2$ の等差素数列》
等差数列
 † 《$3$ 辺の長さが等差数列をなす直角三角形》
等差数列
 † 《調和数列をなす $3$ 数》
等差数列
 † 《フォンタナの三角形》
等差数列の和
◎‡ 《既約分数の個数と和》
等差数列の和
 ‡ 《$n$ 回以下のじゃんけんで順位がつく確率》
等比数列
 ‡ 《定期預金に関する複利計算》
等比数列の和
◎‡ 《メルセンヌ素数と偶数の完全数》
約数の和
〃‡†《友愛数に関するオイラーの法則》
約数の和
 ‡ 《平方三角数とペル方程式》
和の公式
 ‡ 《$4$ 乗数の和の公式》
和の公式
 ‡ 《格子に含まれる長方形の面積の平均値》
和の公式
〃‡ 《格子に含まれる正方形の面積の平均値》
和の公式
◎‡‡《累乗数の和を表す多項式の存在》
和の公式
 ‡‡《累乗数の和を表す多項式の性質》
和の公式
 ‡ 《平方根の整数部分の和》
和の公式
◎‡ 《整数の組と整数の対応》
和の公式
◎‡ 《シュタイナーの平面・空間の分割問題》
階差数列
〃‡ 《円周による平面の分割》
階差数列
 ‡†《モーザーの円の分割問題》
階差数列
 ‡ 《角錐の最短往復数に関する数列》
階差数列
 ‡ 《連続する正の整数の積の和》
いろいろな数列の和
◎‡ 《平方数の逆数の和の評価》
いろいろな数列の和
〃‡†《立方数の逆数の和の評価》
いろいろな数列の和
◎‡ 《ハノイの塔》
$2$ 項間線形漸化式
◎‡†《フィボナッチ数列の一般項と和》
$3$ 項間線形漸化式
◎‡†《ペル方程式に関する連立漸化式》
連立漸化式
 ‡‡《ピタゴラス変換》
連立漸化式
 ‡‡《無理数の連分数展開にまつわる数列の一般項》
いろいろな漸化式
 ‡‡《無理数の近似分数にまつわる数列》
いろいろな漸化式
 ‡ 《$n!$ の多項間漸化式》
いろいろな漸化式
◎‡†《シルヴェスター数列の漸化式》
いろいろな漸化式
〃‡ 《フェルマー数の数列の漸化式》
いろいろな漸化式
◎‡ 《ロジスティック写像》
いろいろな漸化式
 ‡ 《三角形上のランダム・ウォーク》
確率漸化式
 ‡†《破産の確率》
確率漸化式
◎‡†《完全順列の確率》
確率漸化式
 ‡†《くじ引きのサドンデス》
確率漸化式

 図形と計量 (数学 I → 新数学 I)

 ‡ 《線分を折り曲げてできる三角形》
三角形
 ‡ 《$18^\circ$ と $36^\circ$ の三角比》
三角比
◎‡†《カラビの三角形》
三角比
 ‡ 《第一余弦定理 $\Longrightarrow$ 第二余弦定理》
余弦定理
 † 《マラルディの角度》
余弦定理
◎‡ 《余弦定理による中線定理の証明》
余弦定理
〃‡ 《スチュワートの定理と角の二等分線の長さ》
余弦定理
◎‡ 《第一トレミーの定理》
余弦定理
 ‡ 《第二余弦定理 $\Longrightarrow$ 正弦定理》
正弦定理
◎† 《角の二等分線の性質》
正弦定理
 ‡ 《チャップル=オイラーの定理》
正弦定理
 † 《三角形の面積》
三角形の面積
 † 《角の二等分線の性質》
三角形の面積
◎† 《ヘロンの三角形》
三角形の面積
◎‡†《ヘロンの公式とブラーマグプタの三角形》
三角形の面積
 ‡†《三角形のブロカール角の範囲》
三角形の面積
◎‡†《三角形の面積と外接円・内接円・傍接円》
三角形の面積
 ‡ 《三角形の辺の長さと面積の不等式》
三角形の面積
 ‡ 《四角形の対角線と面積》
四角形の面積
 ‡ 《四角形の対辺の長さの和の積と面積》
四角形の面積
 ‡ 《第二トレミーの定理》
四角形の面積
 ‡ 《ブラーマグプタの公式》
四角形の面積
 ‡†《正多面体の外接球の半径》
空間図形の計量
 ‡ 《正多面体の内接球の半径》
空間図形の計量
 ‡†《正多面体の表面積》
空間図形の計量
 ‡†《正多面体の体積》
空間図形の計量
◎‡†《球に内接する正四面体》
空間図形の計量
 ‡†《等面四面体の存在と計量》
空間図形の計量

π 三角関数 (数学 II → 新数学 II)

◎‡ 《三角関数の超越性にまつわる問題》
三角関数
◎‡ 《余弦・正弦の加法定理》
加法定理
 ‡ 《正弦定理 $\Longrightarrow$ 第一余弦定理》
加法定理
 ‡†《正弦定理 $\Longrightarrow$ 第二余弦定理》
加法定理
 ‡ 《ナポレオンの定理》
加法定理
 ‡ 《オノの不等式》
加法定理
 ‡ 《すべての角の正接が整数であるような三角形》
加法定理
◎‡ 《レギオモンタヌスの問題》
加法定理
 ‡†《余接の和の範囲》
加法定理
 ‡ 《モリーの法則》
$2$ 倍角の公式
 ‡ 《円に接する正多角形の周の長さの関係式》
$2$ 倍角の公式
 † 《正多角形の面積》
$2$ 倍角の公式
 ‡ 《斜方投射の最大水平到達距離》
$2$ 倍角の公式
 ‡†《ブレートシュナイダーの公式》
$2$ 倍角の公式
 ‡†《ピタゴラスの $3$ つ組の公式の三角法的証明》
$2$ 倍角の公式
◎‡ 《正五角形の対角線の長さ》
$3$ 倍角の公式
 ‡†《正七角形調和》
$3$ 倍角の公式
◎‡‡《チェビシェフ多項式の存在》
$n$ 倍角の公式
 ‡‡《チェビシェフ多項式の性質》
$n$ 倍角の公式
〃‡‡《ニーヴェンの定理》
$n$ 倍角の公式
◎‡†《第一トレミーの定理》
積和の公式
 ‡†《紙が重なった部分の面積の最小値》
積和の公式
 ‡ 《正接定理》
和積の公式
 ‡†《三角形の正弦の平方和と余弦の積》
和積の公式
◎‡‡《フォイエルバッハの定理》
和積の公式
◎† 《円に内接する長方形の周長の最大値》
三角関数の合成

Δ 微分法 (数学 II → 新数学 II)

◎† 《$x^n$ の導関数》
微分係数・導関数
◎‡ 《多項式関数のグラフと直線が接する条件》
接線
 ‡ 《放物線の直交する接線の交点の軌跡》
接線
 ‡ 《放物線に $2$ 本の接線が引ける点の存在範囲》
接線
 ‡†《放物線の共通接線と相似》
接線
 ‡ 《$3$ 次関数のグラフの接線の分割比》
接線
◎‡†《$3$ 次関数のグラフの対称性》
関数の極値
 ‡†《$4$ 次関数のグラフの対称性》
関数の極値
 ‡ 《チェビシェフ多項式に関する最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《直方体の箱の容積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《球に内接する三角柱の体積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《球に内接する円柱の体積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《球に内接する円錐の体積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《表面積が一定である円柱の体積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《円錐形の容器の容積の最大値》
関数の最大・最小
◎‡ 《三角形の等周問題》
関数の最大・最小
 ‡ 《チェビシェフ多項式にまつわる方程式》
方程式への応用
◎‡†《$3$ 次関数のグラフの接線の交点の分布》
方程式への応用

 関数と極限 (数学 III → 新数学 III)

◎‡ 《周長と面積が等しい長方形》
分数関数
 ‡ 《分数方程式》
分数関数
◎‡ 《無理不等式と相加・相乗平均の不等式》
無理関数
 ‡ 《$n$ 文字の置換の性質》
合成関数・逆関数
 ‡ 《$1$ 次分数関数の逆関数》
合成関数・逆関数
 ‡ 《マチンの公式》
合成関数・逆関数
◎‡ 《双曲線関数の逆関数》
合成関数・逆関数
◎† 《格子に含まれる長方形の面積の平均値の極限》
分数型の数列の極限
〃† 《格子に含まれる正方形の面積の平均値の極限》
分数型の数列の極限
◎† 《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》
無限等比数列の極限
 ‡†《無理数の連分数展開にまつわる数列の極限》
いろいろな数列の極限
 ‡ 《算術幾何平均に関する極限》
いろいろな数列の極限
◎‡†《ニュートン法》
いろいろな数列の極限
 ‡†《縮小関数で定まる数列の極限》
いろいろな数列の極限
◎‡ 《$nr^n$ とじゃんけんの勝者数の期待値の極限》
いろいろな数列の極限
 ‡ 《オイラーの定数にまつわる数列の極限》
いろいろな数列の極限
 ‡ 《黄金長方形にまつわる無限等比級数》
無限等比級数
◎‡ 《コッホ雪片》
無限等比級数
 ‡ 《$nr^n$ の無限和と硬貨を投げる回数の期待値》
いろいろな無限級数
 ‡†《シルヴェスター数列の逆数の総和》
いろいろな無限級数
 ‡ 《調和級数の発散》
いろいろな無限級数
◎† 《双曲線の漸近線》
関数の極限
◎‡ 《ヴィエトの公式》
$\sin x/x$ の極限
 ‡†《正多角柱につながれたヤギの問題》
$\sin x/x$ の極限
◎‡ 《奇数次方程式の実数解の存在》
中間値の定理
 † 《カラビの三角形定数にまつわる方程式》
中間値の定理

Δ 微分法 (数学 III → 新数学 III)

◎† 《多項式の重根判定法》
微分係数・導関数
◎‡ 《ベルヌーイの不等式とネイピア数の評価》
微分係数・導関数
◎‡ 《コーシーの関数方程式》
微分係数・導関数
 ‡†《双曲線関数の関数方程式》
微分係数・導関数
 ‡ 《逆双曲線関数の導関数》
微分係数・導関数
 ‡ 《多項式関数のマクローリン展開》
高階導関数
◎‡†《三角関数の微分方程式》
高階導関数
 ‡†《高階導関数に関するライプニッツの公式》
高階導関数
◎‡ 《微分積分学におけるシュタイナーの問題》
対数微分法
◎‡ 《座標軸が切り取るアステロイドの接線》
接線
 ‡†《$\sqrt x+\sqrt y = 1$ に関する面積の最大値》
接線
 ‡†《放物線の縮閉線》
法線
〃‡†《初等超越関数のグラフの曲率半径》
法線
 † 《定数関数の特徴付け》
平均値の定理
◎‡†《イェンゼンの不等式とその応用》
平均値の定理
 ‡†《逐次代入法》
平均値の定理
◎‡†《$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ となる条件》
関数の増減
◎‡ 《アネェージの曲線の形状》
曲線の凹凸
 ‡ 《凸関数のグラフの接線》
曲線の凹凸
 ‡‡《関数のグラフの複接線と変曲点の個数》
曲線の凹凸
 ‡ 《$4$ 次関数のグラフの複接線の傾き》
曲線の凹凸
 ‡ 《点と曲線を結ぶ最短の線分と接線の関係》
関数の最大・最小
 ‡†《座標軸に接する線分の通過範囲》
関数の最大・最小
 ‡ 《廊下を通過できる棒の長さの最大値》
関数の最大・最小
◎‡ 《正方形の頂点の最小シュタイナー木問題》
関数の最大・最小
◎‡†《円に内接する三角形の面積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《与えられた辺長をもつ四角形の面積の最大値》
関数の最大・最小
 ‡ 《体積が一定である円柱の表面積の最小値》
関数の最大・最小
 ‡ 《体積が一定である円錐の表面積の最小値》
関数の最大・最小
 † 《ジョルダンの不等式》
不等式の証明
◎‡ 《$\log x/x$ の極限》
不等式の証明
◎‡ 《指数関数の近似とその応用》
不等式の証明
 ‡ 《関数の増減と相加・相乗平均の不等式》
不等式の証明
 ‡†《ヤングの不等式とその応用》
不等式の証明
 ‡†《ベルヌーイの不等式の一般化とその応用》
不等式の証明
 ‡†《円に内接する $n$ 角形の周長・面積の最大値》
不等式の証明
 ‡†《$2^x = x^2$ の実数解》
不等式の証明
 ‡†《三角関数のマクローリン展開にまつわる…》
不等式の証明
◎‡†《$3$ 次方程式の実数解の個数》
方程式への応用
 ‡ 《$xe^x = a$ の実数解の個数》
方程式への応用
◎‡ 《等角らせんの性質》
速度
 ‡ 《等速円運動》
加速度
◎‡†《放物線に関する面積速度一定の法則》
加速度

 積分法 (数学 III → 新数学 III)

◎‡ 《三角関数の直交性》
定積分
 † 《キングス・プロパティー》
定積分
 ‡ 《積分の平均値の定理》
定積分の不等式
 ‡ 《定積分に関するシュワルツの不等式》
定積分の不等式
 ‡ 《指数関数のマクローリン展開にまつわる…》
定積分の不等式
 ‡ 《対数関数のテイラー展開にまつわる不等式》
定積分の不等式
 ‡ 《逆双曲線関数のテイラー展開にまつわる…》
定積分の不等式
 ‡†《三角関数のマクローリン展開にまつわる…》
定積分の不等式
◎‡†《グレゴリー=ライプニッツ級数》
定積分の不等式
 ‡ 《簡易版スターリングの公式》
定積分の不等式
 ‡†《汎調和級数の収束域》
定積分の不等式
 ‡†《定積分に関するヤングの不等式》
定積分の不等式
◎‡†《ウォリスの公式》
定積分の漸化式
 ‡‡《精密版スターリングの公式》
定積分の漸化式
 ‡‡《バーゼル問題》
定積分の漸化式
 ‡†《ネイピア数の無理性》
定積分の漸化式
 ‡‡《円周率の無理性》
定積分の漸化式
◎‡†《ベータ関数と面積》
面積(陽関数表示)
 † 《円の面積》
面積(陰関数表示)
 ‡ 《楕円の共通部分の面積》
面積(陰関数表示)
 ‡ 《リサジュー曲線が囲む図形の面積(陰関数)》
面積(陰関数表示)
 † 《リサジュー曲線が囲む図形の面積(媒介変数)》
面積(媒介変数表示)
◎‡ 《サイクロイドの面積》
面積(媒介変数表示)
 ‡ 《らせんと座標軸が囲む図形の面積》
面積(媒介変数表示)
 ‡ 《面積による双曲線関数の特徴付け》
面積(媒介変数表示)
 ‡†《円柱につながれたヤギの問題》
面積(媒介変数表示)
 ‡ 《正葉曲線が囲む図形の面積》
面積(極座標表示)
◎‡ 《メルカトル級数とその項の並べ替え》
区分求積法
 ‡†《正方形と内接円上にある格子点の個数の比》
区分求積法
 † 《柱体と錐体の体積》
体積(非回転体)
 ‡ 《円柱の共通部分の体積》
体積(非回転体)
◎‡ 《$3$ 次元アステロイドの体積》
体積(非回転体)
 † 《円柱と円錐の体積》
体積(回転体)
 † 《球の体積》
体積(回転体)
◎† 《トーラスの体積》
体積(回転体)
 ‡†《バウムクーヘン分割の公式》
体積(回転体)
◎‡ 《サイクロイドの長さ》
曲線の長さ(媒介変数表示)
 ‡ 《カージオイドの長さ》
曲線の長さ(媒介変数表示)
 ‡ 《アステロイドの長さ》
曲線の長さ(媒介変数表示)
 ‡†《円の伸開線の長さ》
曲線の長さ(媒介変数表示)
 ‡ 《らせんの長さ》
曲線の長さ(媒介変数表示)
 ‡ 《懸垂線の長さ》
曲線の長さ(関数のグラフ)
◎‡ 《放物線の長さ》
曲線の長さ(関数のグラフ)
◎‡†《ガンマ関数》
広義積分
 ‡ 《アネェージの曲線と漸近線が囲む図形の面積》
広義積分
 ‡ 《減衰曲線に関する面積の極限》
広義積分
 ‡ 《デカルトの葉線で囲まれた図形の面積》
広義積分
 ‡ 《ガブリエルのラッパ》
広義積分
 ‡†《ガウス積分》
広義積分
 ‡‡《曲線の等周問題》
広義積分
 ‡†《指数関数の微分方程式》
微分方程式
◎‡†《ロジスティック方程式》
微分方程式
 ‡ 《排水時の水位に関する微分方程式》
微分方程式

 ベクトル (数学 B → 新数学 C)

◎‡ 《平面上の点の重心座標と三角形の面積比》
分点の位置ベクトル
 † 《角の二等分線の性質》
分点の位置ベクトル
 ‡ 《四角形の幾何学的重心》
分点の位置ベクトル
 ‡ 《四角形の物理的重心》
分点の位置ベクトル
◎‡ 《四面体の幾何学的重心》
分点の位置ベクトル
◎‡ 《完全四辺形に関するニュートンの定理》
共線条件
 ‡ 《ベクトルによる中線定理の証明》
ベクトルの内積
◎‡†《内積の不等式と三角形のフェルマー点》
シュワルツの不等式
◎‡ 《三角形のオイラー線と九点円》
ベクトルの垂直条件
 † 《四面体のモンジュ点》
ベクトルの垂直条件
◎‡ 《ベクトルと三角形の面積》
三角形の面積
◎‡†《対辺が互いに垂直な等面四面体》
三角形の面積
◎‡†《方べきの定理》
平面図形のベクトル方程式
◎‡ 《点と平面の距離とデカルト=グアの定理》
空間図形のベクトル方程式

i 複素数平面 (数学 III → 新数学 C)

◎† 《ブラーマグプタ=フィボナッチ恒等式》
複素数の極形式
 ‡‡《複素数の乗法で閉じた有限集合》
ド・モアブルの定理
◎‡ 《$1$ の $5$ 乗根に関する相反方程式》
ド・モアブルの定理
 ‡ 《正多角形の辺と対角線の長さの積》
ド・モアブルの定理
 ‡ 《単位円周上の点を結ぶ三角形と四角形》
複素数平面上の距離
◎‡ 《三角不等式》
複素数平面上の距離
◎‡ 《複素数平面上の正三角形と正方形の成立条件》
回転移動
 ‡ 《ナポレオンの定理》
回転移動
 ‡ 《曲線 $\sqrt x+\sqrt y = 1$ の回転移動》
回転移動
 ‡ 《直線の方程式》
共線・平行・垂直条件
 ‡ 《三角形の外心》
共線・平行・垂直条件
◎‡†《ウォレス=シムソンの定理》
共線・平行・垂直条件
 ‡ 《原点を通る直線に関する対称性》
共線・平行・垂直条件
 ‡ 《共円条件》
共円条件
◎‡†《トレミーの不等式と三角形のフェルマー点》
共円条件
 † 《三角形の相似条件》
複素数と多角形
 ‡†《座標法》
複素数と多角形
 ‡ 《反転による円円対応》
複素数平面上の変換
◎‡ 《$1$ 次分数変換と円円対応》
複素数平面上の変換
 † 《ケイリー変換》
複素数平面上の変換
 ‡ 《ジューコフスキー変換》
複素数平面上の変換

C 式と曲線 (数学 III → 新数学 C)

◎‡ 《放物線の軸に平行な光の反射》
放物線
 ‡ 《放物線の焦点・接線・法線の位置関係》
放物線
 ‡†《放物線上の調和点列》
放物線
 ‡ 《楕円の特徴付け》
楕円の周
 ‡†《楕円に内接する三角形の面積の最大値》
楕円の周
◎‡ 《楕円の焦点から発せられた光の反射》
楕円の周
 ‡ 《楕円の接線の長さの最小値》
楕円の周
 ‡ 《楕円の接線と座標軸が囲む三角形の面積》
楕円の周
◎‡†《楕円に外接する長方形の面積の最大値》
楕円の周
 ‡†《アイゼンシュタインの $3$ つ組の公式の…》
楕円の周
◎‡†《双曲線の準円》
双曲線
◎‡ 《双曲線の焦点から発せられた光の反射》
双曲線
 ‡ 《双曲線の接線の漸近線との交点と接点の関係》
双曲線
 ‡ 《双曲線の接線と漸近線が囲む三角形の面積》
双曲線
 ‡†《円錐曲線の名の由来》
$2$ 次曲線
◎‡ 《$2$ 次曲線の離心率》
$2$ 次曲線
 † 《$2$ 次曲線の媒介変数表示》
曲線の媒介変数表示
◎‡ 《サイクロイド》
曲線の媒介変数表示
 ‡ 《外サイクロイドと内サイクロイド》
曲線の媒介変数表示
◎‡ 《$2$ 次曲線の焦点を通る弦》
極座標
 † 《黄金らせん》
極座標
 ‡ 《正葉曲線の対称性》
極座標
 ‡ 《レムニスケートの極方程式》
極座標

※1: 洗練された「有名問題」を集めるため,「典型問題」「頻出問題」「伝説的問題」であっても, 数値設定の動機が不明確であるなど, 上記の条件を満たさない問題は, あえて取り上げていません. 動機や背景のよくわからない問題ばかり解いていても数学の知識はなかなか深まっていかないので, 似たような内容を学ぶのであれば「有名問題」を解いた方が断然効率的だと言えるでしょう. 問題の選定基準がここまで厳しい問題集はないかと思いますが, それゆえに質の高い学習ができるでしょう.

※2: 融合問題を中心に, 教科書と異なる順序で掲載した問題もあります. 特に, 数列の漸化式, 数列の和, 和の記号, 数学的帰納法(数学 B)は, 諸分野の基礎としてさまざまな定理の証明に使われるため, これを認めて数学 I・A・II の問題としたものもあります.

※3: これは大学入試の過去問題集ではなく, “ 高校数学の知識でどのような問題が解決でき, どれほどの定理が証明できるか ” という著者の長年の教材研究の成果をまとめた問題集です. つまり, 題材になる定理や素朴さありきで選ばれた天然物の集まりであるため, 問題のレベルはさまざまです. 参考になる入試問題の大学名を記した問題もありますが, 実際の入試問題との違いには十分ご注意ください.

索引(用語・背景から問題へ)

 あ> か> さ> た> な> は> ま> や> ら> わ>
 ※かぎかっこ「」のついた用語: 高校の教科書に(必ずしも)載っていないもの

課題学習

 課題学習のテーマの候補については, こちらを参照されたい(随時, 追加・更新予定).