本格数学クイズ
手を動かして解くタイプの本格的な数学クイズを収集, 制作しています (対象は高校生以上, 算数クイズを除く).
$1$ 人でじっくり考えて解くのも良し, クイズ大会の早解きで使うのも良しの, 解きごたえのあるクイズを厳選しています.
問題は, 随時追加中です (2023/06/02 掲載開始).
本格数学クイズ
代数学
整数論
《フロベニウスの硬貨交換問題》$a,$ $b$ を互いに素な $1$ より大きい整数とする.
$a$ 円硬貨, $b$ 円硬貨のみを使ってちょうど支払えない金額は最大で何円か.
ただし, 各硬貨は何枚使ってもよいが, おつりはもらえないものとする. →答え
《平方三角数》正方形 (中実方陣) の形に並べられた複数個の石を, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ と並べ直していくと, 正三角形の形に余すことなく並べられた.
このとき, 考えられる石の個数として最も少ない個数は何個か. →答え
《平方四角錐数》正方形 (中実方陣) の形に並べられた複数個の球を, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ となるように積み上げていくと, 正四角錐の形に余すことなく並べられた.
このとき, 考えられる球の個数として最も少ない個数は何個か. →答え
解析学
微分積分学
《方眼の中の正方形》 $n\times n$ マスの方眼の罫線に沿って描かれた正方形がマス目全体に占める面積の割合として見込まれる値は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか. →答え
《くじで当たらない確率の極限値》$n$ 本中 $1$ 本だけ当たりが入ったくじを $n$ 回引くときに $1$ 回も当たらない確率は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか.
ただし, 引いたくじは毎回もとに戻すものとする. →答え
《硬貨を投げる回数の期待値》表が出る確率も裏が出る確率も $\dfrac{1}{2}$ である硬貨を表が出るまで投げ続けるとき, 何回目に投げ終わると見込まれるか. →答え
《正方形の紙で作れる最大の箱》正方形の紙の四隅から正方形を取り除き, その残りを折り曲げて, ふたのない正四角柱の箱を作る.
容積を最大にするには, 底面の $1$ 辺の長さと高さの比をどのような値にすればよいか.
ただし, 紙の厚さは考えないものとする. →答え
《廊下を通過できる棒の長さの最大値》幅 $x,$ $y$ の通路が直角につながった廊下を, 水平に保ったまま通過できる棒の長さの最大値はいくらか.
ただし, 通路は十分に長いとし, 棒の太さは無視して考えるものとする. →答え
《円の伸開線の長さ》円に伸び縮みのしないひもをたるみなく巻きつけていくと, ちょうど $1$ 周したところで巻き終わった.
このとき, ひもの先端が描く曲線の長さはひもの長さの何倍か.
ただし, ひもの太さは無視して考えるものとする. →答え
幾何学
初等幾何学
《レギオモンタヌスの問題》フィールドの中央から $d$ だけ離れたセンターライン上の地点から, 選手が敵陣のゴールラインに向かって真っすぐ進んでいる.
ゴールの幅が $w$ であるとき, ゴールを見込む角が最大になるという意味でシュートを放つのに最も適しているのは, ゴールラインからどれだけ離れた地点か.
ただし, $d > \dfrac{w}{2}$ とする. →答え
離散幾何学
《正平面充填形》平面に $1$ 種類の正多角形を隙間も重なりもなく敷き詰める方法は, 全部で何通りあるか.
ただし, 使用する正多角形はすべて同じ大きさであり, $3$ 枚以上の正多角形は頂点のみを共有する方法のみを考えるものとする. →答え
《一筆書きが可能な正多面体》正多面体のうち, すべての辺が一筆書きでなぞれるものはどれか. →答え
組合せ論・確率論
組合せ論
《試合数》総当たりのリーグ戦の試合数, トーナメント戦で優勝チームを決めるのに必要な試合数を比較するとき, 前者が後者を上回るのは, 参加チームが何チーム以上のときか. →答え
《完全順列の割合》 $n$ 人 $(n \geqq 2)$ の席替えで全員の席が替わる確率 $p_n$ の最大値, 最小値はいくらか (高校生向け).
また, $n$ が大きくなるにつれて $p_n$ はどのような値に近づいていくか (大学生向け). →答え
《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》 A, B の $2$ 人が $2n−1$ 番勝負 ($n$: 正の整数) を行うとき, A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する確率はいくらか.
ただし, A, B の実力は互角であり, 引き分けはないとする. →答え
確率論
《モンティ・ホール問題》$3$ つのドア A, B, C のうち, いずれかのドアの向こうに賞品が無作為に隠されている.
挑戦者はドアを $1$ つだけ開けて, 賞品があれば, それをもらうことができる.
挑戦者がドアを選んでからドアを開けるまでの間に, 司会者は残った $2$ つのドアのうち, はずれのドアを $1$ つ無作為に開ける.
このとき, 挑戦者は開けるドアを変更することができる.
ドアを変更するとき, しないときのどちらが賞品を得る確率が高いか. →答え
《じゃんけんの勝者の人数》$1$ 回だけじゃんけんをするとき, 勝者の人数が最も多くなると見込まれるのは, 何人でじゃんけんをするときか. →答え
《夫婦円卓問題》 $n$ 組 $(n \geqq 2)$ の夫婦 $2n$ 人が, 男女交互に, それ以外は無作為に円卓の周りに座るとき, 隣どうしに座ると見込まれる夫婦は何組か. →答え
《平方三角数》正方形 (中実方陣) の形に並べられた複数個の石を, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ と並べ直していくと, 正三角形の形に余すことなく並べられた. このとき, 考えられる石の個数として最も少ない個数は何個か. →答え
《平方四角錐数》正方形 (中実方陣) の形に並べられた複数個の球を, $1$ 段目に $1$ 個, $\cdots,$ $k$ 段目に $k$ 個, $\cdots$ となるように積み上げていくと, 正四角錐の形に余すことなく並べられた. このとき, 考えられる球の個数として最も少ない個数は何個か. →答え
微分積分学
《方眼の中の正方形》 $n\times n$ マスの方眼の罫線に沿って描かれた正方形がマス目全体に占める面積の割合として見込まれる値は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか. →答え
《くじで当たらない確率の極限値》$n$ 本中 $1$ 本だけ当たりが入ったくじを $n$ 回引くときに $1$ 回も当たらない確率は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか. ただし, 引いたくじは毎回もとに戻すものとする. →答え
《硬貨を投げる回数の期待値》表が出る確率も裏が出る確率も $\dfrac{1}{2}$ である硬貨を表が出るまで投げ続けるとき, 何回目に投げ終わると見込まれるか. →答え
《正方形の紙で作れる最大の箱》正方形の紙の四隅から正方形を取り除き, その残りを折り曲げて, ふたのない正四角柱の箱を作る. 容積を最大にするには, 底面の $1$ 辺の長さと高さの比をどのような値にすればよいか. ただし, 紙の厚さは考えないものとする. →答え
《廊下を通過できる棒の長さの最大値》幅 $x,$ $y$ の通路が直角につながった廊下を, 水平に保ったまま通過できる棒の長さの最大値はいくらか. ただし, 通路は十分に長いとし, 棒の太さは無視して考えるものとする. →答え
《円の伸開線の長さ》円に伸び縮みのしないひもをたるみなく巻きつけていくと, ちょうど $1$ 周したところで巻き終わった. このとき, ひもの先端が描く曲線の長さはひもの長さの何倍か. ただし, ひもの太さは無視して考えるものとする. →答え
《くじで当たらない確率の極限値》$n$ 本中 $1$ 本だけ当たりが入ったくじを $n$ 回引くときに $1$ 回も当たらない確率は, $n$ が大きくなるにつれてどのような値に近づいていくか. ただし, 引いたくじは毎回もとに戻すものとする. →答え
《硬貨を投げる回数の期待値》表が出る確率も裏が出る確率も $\dfrac{1}{2}$ である硬貨を表が出るまで投げ続けるとき, 何回目に投げ終わると見込まれるか. →答え
《正方形の紙で作れる最大の箱》正方形の紙の四隅から正方形を取り除き, その残りを折り曲げて, ふたのない正四角柱の箱を作る. 容積を最大にするには, 底面の $1$ 辺の長さと高さの比をどのような値にすればよいか. ただし, 紙の厚さは考えないものとする. →答え
《廊下を通過できる棒の長さの最大値》幅 $x,$ $y$ の通路が直角につながった廊下を, 水平に保ったまま通過できる棒の長さの最大値はいくらか. ただし, 通路は十分に長いとし, 棒の太さは無視して考えるものとする. →答え
《円の伸開線の長さ》円に伸び縮みのしないひもをたるみなく巻きつけていくと, ちょうど $1$ 周したところで巻き終わった. このとき, ひもの先端が描く曲線の長さはひもの長さの何倍か. ただし, ひもの太さは無視して考えるものとする. →答え
幾何学
初等幾何学
《レギオモンタヌスの問題》フィールドの中央から $d$ だけ離れたセンターライン上の地点から, 選手が敵陣のゴールラインに向かって真っすぐ進んでいる.
ゴールの幅が $w$ であるとき, ゴールを見込む角が最大になるという意味でシュートを放つのに最も適しているのは, ゴールラインからどれだけ離れた地点か.
ただし, $d > \dfrac{w}{2}$ とする. →答え
離散幾何学
《正平面充填形》平面に $1$ 種類の正多角形を隙間も重なりもなく敷き詰める方法は, 全部で何通りあるか.
ただし, 使用する正多角形はすべて同じ大きさであり, $3$ 枚以上の正多角形は頂点のみを共有する方法のみを考えるものとする. →答え
《一筆書きが可能な正多面体》正多面体のうち, すべての辺が一筆書きでなぞれるものはどれか. →答え
組合せ論・確率論
組合せ論
《試合数》総当たりのリーグ戦の試合数, トーナメント戦で優勝チームを決めるのに必要な試合数を比較するとき, 前者が後者を上回るのは, 参加チームが何チーム以上のときか. →答え
《完全順列の割合》 $n$ 人 $(n \geqq 2)$ の席替えで全員の席が替わる確率 $p_n$ の最大値, 最小値はいくらか (高校生向け).
また, $n$ が大きくなるにつれて $p_n$ はどのような値に近づいていくか (大学生向け). →答え
《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》 A, B の $2$ 人が $2n−1$ 番勝負 ($n$: 正の整数) を行うとき, A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する確率はいくらか.
ただし, A, B の実力は互角であり, 引き分けはないとする. →答え
確率論
《モンティ・ホール問題》$3$ つのドア A, B, C のうち, いずれかのドアの向こうに賞品が無作為に隠されている.
挑戦者はドアを $1$ つだけ開けて, 賞品があれば, それをもらうことができる.
挑戦者がドアを選んでからドアを開けるまでの間に, 司会者は残った $2$ つのドアのうち, はずれのドアを $1$ つ無作為に開ける.
このとき, 挑戦者は開けるドアを変更することができる.
ドアを変更するとき, しないときのどちらが賞品を得る確率が高いか. →答え
《じゃんけんの勝者の人数》$1$ 回だけじゃんけんをするとき, 勝者の人数が最も多くなると見込まれるのは, 何人でじゃんけんをするときか. →答え
《夫婦円卓問題》 $n$ 組 $(n \geqq 2)$ の夫婦 $2n$ 人が, 男女交互に, それ以外は無作為に円卓の周りに座るとき, 隣どうしに座ると見込まれる夫婦は何組か. →答え
《一筆書きが可能な正多面体》正多面体のうち, すべての辺が一筆書きでなぞれるものはどれか. →答え
組合せ論
《試合数》総当たりのリーグ戦の試合数, トーナメント戦で優勝チームを決めるのに必要な試合数を比較するとき, 前者が後者を上回るのは, 参加チームが何チーム以上のときか. →答え
《完全順列の割合》 $n$ 人 $(n \geqq 2)$ の席替えで全員の席が替わる確率 $p_n$ の最大値, 最小値はいくらか (高校生向け). また, $n$ が大きくなるにつれて $p_n$ はどのような値に近づいていくか (大学生向け). →答え
《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》 A, B の $2$ 人が $2n−1$ 番勝負 ($n$: 正の整数) を行うとき, A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する確率はいくらか. ただし, A, B の実力は互角であり, 引き分けはないとする. →答え
《完全順列の割合》 $n$ 人 $(n \geqq 2)$ の席替えで全員の席が替わる確率 $p_n$ の最大値, 最小値はいくらか (高校生向け). また, $n$ が大きくなるにつれて $p_n$ はどのような値に近づいていくか (大学生向け). →答え
《番勝負でリードを許さずに優勝する確率》 A, B の $2$ 人が $2n−1$ 番勝負 ($n$: 正の整数) を行うとき, A が B に $1$ 度もリードを許さずに優勝する確率はいくらか. ただし, A, B の実力は互角であり, 引き分けはないとする. →答え
確率論
《モンティ・ホール問題》$3$ つのドア A, B, C のうち, いずれかのドアの向こうに賞品が無作為に隠されている.
挑戦者はドアを $1$ つだけ開けて, 賞品があれば, それをもらうことができる.
挑戦者がドアを選んでからドアを開けるまでの間に, 司会者は残った $2$ つのドアのうち, はずれのドアを $1$ つ無作為に開ける.
このとき, 挑戦者は開けるドアを変更することができる.
ドアを変更するとき, しないときのどちらが賞品を得る確率が高いか. →答え
《じゃんけんの勝者の人数》$1$ 回だけじゃんけんをするとき, 勝者の人数が最も多くなると見込まれるのは, 何人でじゃんけんをするときか. →答え
《夫婦円卓問題》 $n$ 組 $(n \geqq 2)$ の夫婦 $2n$ 人が, 男女交互に, それ以外は無作為に円卓の周りに座るとき, 隣どうしに座ると見込まれる夫婦は何組か. →答え
《じゃんけんの勝者の人数》$1$ 回だけじゃんけんをするとき, 勝者の人数が最も多くなると見込まれるのは, 何人でじゃんけんをするときか. →答え
《夫婦円卓問題》 $n$ 組 $(n \geqq 2)$ の夫婦 $2n$ 人が, 男女交互に, それ以外は無作為に円卓の周りに座るとき, 隣どうしに座ると見込まれる夫婦は何組か. →答え
書籍
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