平面に合同な正 $p$ 角形が隙間も重なりもなく敷き詰めて, 各頂点で $q$ 個の正 $p$ 角形の辺が交わるようにできたとする. $1$ つの頂点に集まる角の和は $360^\circ$ であり, 正 $p$ 角形の内角の大きさは $180^\circ\times (p-2)\div p$ であるから, \[\frac{180(p-2)q}{p} = 360\] が成り立つ. 整理すると, \[\begin{aligned} (p-2)q &= 2p \\ pq-2p-2q &= 0 \\ (p-2)(q-2) &= 4 \end{aligned}\] となる. $p \geqq 3,$ $q \geqq 3$ から $p-2 \geqq 1,$ $q-2 \geqq 1$ であることに注意すると, \[\begin{aligned} (p-2,q-2) &= (1,4),\ (2,2),\ (4,1) \\ (p,q) &= (3,6),\ (4,4),\ (6,3) \end{aligned}\] が得られる. 正三角形, 正方形, 正六角形はそれぞれ, 次の図のように平面に敷き詰められる. ゆえに, 平面に $1$ 種類の正多角形を隙間も重なりもなく敷き詰める方法は全部で $3$ 通りある.

　オイラーの定理により, すべての辺をなぞる一筆書きができるためには, 各頂点に集まる辺の本数が偶数でなければならない, 各頂点に集まる辺の本数は, 正四面体が $3,$ 正六面体が $3,$ 正八面体が $4,$ 正十二面体が $3,$ 正二十面体が $5$ であるから, 条件を満たすのは正八面体のみである.