本格数学クイズ (初等幾何学)
円
クイズ《レギオモンタヌスの問題》
フィールドの中央から $d$ だけ離れたセンターライン上の地点から, 選手が敵陣のゴールラインに向かって真っすぐ進んでいる.
ゴールの幅が $w$ であるとき, ゴールを見込む角が最大になるという意味でシュートを放つのに最も適しているのは, ゴールラインからどれだけ離れた地点か.
ただし, $d > \dfrac{w}{2}$ とする.
(有名問題)
答え
$\sqrt{\left( d+\dfrac{w}{2}\right)\left(d-\dfrac{w}{2}\right)}$ だけ離れた地点.
解説
ゴールラインと選手が進む直線の交点を $\mathrm O,$ ゴールの両端を $\mathrm A,$ $\mathrm B$ とおき, 点 $\mathrm P$ でゴールを見込む角 $\angle\mathrm{APB}$ が最大になるとする.
$\mathrm A,$ $\mathrm B$ を通って直線 $\mathrm{OP}$ に点 $\mathrm T$ で接する円周 $C$ をかく.
$\mathrm P \neq \mathrm T$ のときは線分 $\mathrm{AP}$ と $C$ の交点を $\mathrm Q$ とおくと
\[\angle\mathrm{APB} < \angle\mathrm{AQB} = \angle\mathrm{ATB}\]
となってしまうから, $\mathrm P = \mathrm T$ である.
よって, 方べきの定理により
\[\mathrm{OP}^2 = \mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}\]
であるから, ゴールを見込む角が最も大きくなる地点のゴールラインからの距離は
\[\mathrm{OP} = \sqrt{\mathrm{OA}\cdot\mathrm{OB}} = \sqrt{\left( d+\frac{w}{2}\right)\left(d-\frac{w}{2}\right)}\]
である.