$q$ を素数とする. \[ f(x) = x^p+q\prod_{i = 1}^{p-2}(x-2i+1)\] とおき, $f(x)$ の $\mathbb Q$ 上の最小分解体を $L$ とおき, $f(x) = 0$ の $\mathbb Q$ 上のガロア群を $G$ とおく. $\alpha$ を $f(x) = 0$ の解の $1$ つとすると, \[\# G = [L:\mathbb Q] = [L:\mathbb Q(\alpha )][\mathbb Q(\alpha ):\mathbb Q]\] であり, アイゼンシュタインの判定法により $f(x)$ は $\mathbb Q$ 上既約であるから \[ [\mathbb Q(\alpha ):\mathbb Q] = \deg f(x) = p\] であり, $\# G$ は $p$ で割り切れる. よって, コーシーの定理により, $G$ は位数 $p$ の元 $\sigma$ をもつ.

$q$ を適当な素数に取り換えることにより, $f(x) = 0$ が $2$ 個の複素数解 $\alpha _1,$ $\alpha _2$ と $p-2$ 個の実数解 $\alpha _3,$ $\cdots,$ $\alpha _p$ をもつこと $\cdots [\ast ]$

が示されれば, $2$ 個の虚数解 $\alpha _1,$ $\alpha _2$ は複素共役の関係にあるから \[\tau (\alpha _1) = \alpha _2, \quad \tau (\alpha _2) = \alpha _1, \quad \tau (\alpha _i) = \alpha _i \quad (3 \leqq i \leqq p)\] とすると $G$ の元 $\tau$ が定まるので, 解の置換によって $G \subset S_p$ とみなすとき, $G$ には互換 $\tau$ と位数 $p$ の元 $\sigma$ が含まれるから, $G = S_p$ であることが示される (書籍の定理 66 (5)). そこで以下, $[\ast ]$ を示す.

(i)

$f(x)$ の $p-2$ 次導関数は \[ f^{(p-2)}(x) = \frac{p!}{2!}x^2+q\cdot (p-2)! > 0\] であるから, $3$ 次関数 $f^{(p-3)}(x)$ は単調増加であり, $3$ 次方程式 $f^{(p-3)}(x) = 0$ はただ $1$ つの実数解をもつ.

(ii)

$i$ を $3$ 以上 $p$ 以下の整数として, $i$ 次方程式 $f^{(p-i)}(x) = 0$ が高々 $i-2$ 個の実数解をもつとする. このとき, $i+1$ 次関数 $f^{(p-i-1)}(x)$ は高々 $i-2$ 個の極値をもち, $i+1$ 次方程式 $f^{(p-i-1)}(x) = 0$ は高々 $i-1$ 個の実数解をもつ.

(i), (ii) から, $p-2$ 次方程式 $f''(x) = 0$ は高々 $p-4$ 個の実数解をもつ. 一方, $x \to \pm\infty$ のとき $f(x) \to \pm\infty$ (複号同順) および \[ f(4j-2) > 0 \quad \left( 1 \leqq j \leqq \frac{p-3}{2}\right),\] 例えば \[\begin{aligned} f(2) &= 2^p+q\cdot 1!!\cdot (2p-7)!! > 0, \\ f(2p-8) &= (2p-8)^p+q\cdot (2p-9)!!\cdot 3!! > 0 \end{aligned}\] ($k!!$ は $k$ の二重階乗を表す) であるから, \[ f(4j) < 0 \quad \left( 1 \leqq j \leqq \frac{p-3}{2}\right)\] であるように素数 $q$ の値を選べば, $p-4$ 個の各区間 $(2k,2k+2)$ $(1 \leqq k \leqq p-4)$ において $f(x)$ の値の符号が変わることから $y = f(x)$ はちょうど $p-4$ 個の変曲点をもつことになり, $f(x) = 0$ がちょうど $p-2$ 個の実数解をもつことが示される. $f(4j)$ は $q$ の $1$ 次式で $q$ の係数は負, 例えば \[\begin{aligned} f(4) &= 4^p-q\cdot 3!!\cdot (2p-9)!!, \\ f(2p-6) &= (2p-6)^p-q\cdot (2p-7)!!\cdot 1!! \end{aligned}\] であるから, 素数の無限性によりこれは可能である.