有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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ゲルフォント=シュナイダーの定理

ゲルフォント=シュナイダーの定理

定義《代数的数, 超越数》

(1)
ある有理数係数多項式 $f(x)$ について $f(x) = 0$ の解として表される数を代数的数 (algebraic number) と呼ぶ.
(2)
代数的数でない実数を超越数 (transcendental number) と呼ぶ.

定理《ゲルフォント=シュナイダーの定理》

 $0$ でも $1$ でもない代数的数 $\alpha$ と, 有理数でない代数的数 $\beta$ に対して, $\alpha ^\beta$ は超越数である.

高校数学の問題

指数関数・対数関数

問題《$2^{\sqrt 2}$ の無理性にまつわる問題》

 $2^{\frac{1}{2}+\sqrt 2},$ $2^{\sqrt 2}$ の少なくとも一方は無理数であることを示せ. ただし, $\sqrt 2$ が無理数であることは証明なしに使ってよい.

解答例

 こちらを参照.