ゲルフォント=シュナイダーの定理

(1): ある有理数係数多項式 $f(x)$ について $f(x) = 0$ の解として表される数を代数的数 (algebraic number) と呼ぶ.
(2): 代数的数でない実数を超越数 (transcendental number) と呼ぶ.

　$0$ でも $1$ でもない代数的数 $\alpha$ と, 有理数でない代数的数 $\beta$ に対して, $\alpha ^\beta$ は超越数である.

高校数学の問題

(1): $(\sqrt 2^{\sqrt 2})^{\sqrt 2}$ の値を求めよ.
(2): 無理数 $a,$ $x$ を用いて $a^x$ の形に表される有理数が存在することを示せ. ただし, $\sqrt 2$ が無理数であることは証明なしに使ってよい.

(参考: $2020$ 横浜市立大)

　こちらを参照.