有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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定義《群》

(1)
集合 $G$ に対して, $G\times G$ から $G$ への写像を $G$ 上の二項演算 (binary operation) と呼ぶ.
(2)
空でない集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 \[\mu: G\times G\to G;(a,b)\mapsto ab\] が次を満たすとき, $G$ は二項演算 $\mu$ に関して (group) をなすといい, 対 $(G,\mu )$ を群と呼ぶ.
(G1)
結合法則 (associative law): $a,$ $b,$ $c \in G$ ならば, $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ.
(G2)
単位元の存在: ある $e \in G$ について, すべての $a \in G$ に対して $ea = ae = a$ が成り立つ.
(G3)
逆元の存在: $a \in G$ ならば, ある $a' \in G$ について $aa' = a'a = e$ が成り立つ.
本稿では断りのない限り, 群 $(G,\mu )$ を単に群 $G$ と呼ぶ.
(3)
群 $G$ がさらに次の条件を満たすとき, $G$ を可換群 (commutative group) またはアーベル群 (abelian group) と呼ぶ.
(G4)
交換法則 (commutative law): $a,$ $b \in G$ ならば, $ab = ba$ が成り立つ ($a,$ $b$ は可換であるという).
(4)
二項演算が $a+b$ のように加法記号を用いて書かれる可換群を加法群 (additive group) と呼び, 二項演算が $a\times b,$ $a\cdot b,$ $ab$ のように乗法的に書かれる群を乗法群 (multiplicative group) と呼ぶ.

例《群》

(0)
$1$ 元からなる集合 $\{ e\}$ は $ee = e$ という二項演算に関して群をなす. これを単位群 (trivial group) と呼ぶ.
(1)
$i$ を虚数単位とすると, $1$ の $4$ 乗根全体の集合 $\{ \pm 1,\ \pm i\}$ は複素数の乗法に関して群をなす.
(2)
整数全体の集合 $\mathbb Z$ は通常の加法に関して群をなす.
(3)
集合 $X$ の全単射全体の集合は写像の合成に関して群をなす. これを $X$ の置換群 (permutation group) と呼ぶ. 特に, $n$ 個の元からなる集合 $X$ の置換群を $n$ 次対称群 (symmetric group of degree $n$) と呼び, $\mathfrak S_n$ で表す.

命題《一般結合法則》

 $n$ を $3$ 以上の整数とする. 群 $G$ の $n$ 個の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して, $a_1\cdots a_n$ を \[ (a_1\cdots a_{k-1})a_k = a_1\cdots a_k \quad (3 \leqq k \leqq n)\] により定める. このとき, \[ (a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_n) = a_1\cdots a_n \quad (1 \leqq r \leqq n-1)\] が成り立つ.

証明

 $n$ に関する数学的帰納法で示す.
(i)
$n = 3$ のとき. 結合法則と $a_1a_2a_3$ の定義により, \[ a_1(a_2a_3) = (a_1a_2)a_3 = a_1a_2a_3\] が成り立つ.
(ii)
$n$ を $4$ 以上の整数とし, \[\begin{aligned} (a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_{n-1}) = a_1\cdots a_{n-1}\ (1 \leqq r \leqq n-2) \\ \cdots [1] \end{aligned}\] が成り立つとする. このとき, $1 \leqq r \leqq n-2$ なる整数 $r$ に対して, \[\begin{aligned} &(a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_n) \\ &= (a_1\cdots a_r)((a_{r+1}\cdots a_{n-1})a_n) \\ &= ((a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_{n-1}))a_n \quad (\because\text{(G1)} ) \\ &= (a_1\cdots a_{n-1})a_n \quad (\because [1]) \\ &= a_1\cdots a_n \end{aligned}\] が成り立つ. $a_1\cdots a_n$ の定義により, これは $r = n-1$ のときも成り立つ.
(i), (ii) から, $3$ 以上のすべての整数 $n$ に対して等式が成り立つ.

命題《単位元, 逆元の一意性》

 $G$ を群とする.
(G2) において, $e \in G$ はただ $1$ つに定まる.
(G3) において, 各 $a \in G$ に対して, $a'$ はただ $1$ つに定まる.

証明

 $e,$ $e' \in G$ がすべての $a \in G$ に対して $ea = ae = a,$ $e'a = ae' = a$ を満たすとき, \[ e = ee' = e'\] となる. また, $a,$ $a',$ $a'' \in G$ が $aa' = a'a = e,$ $aa'' = a''a = e$ を満たすとき, \[ a' = a'e = a'(aa'') = (a'a)a'' = ea'' = a''\] となる.

定義《群の単位元, 逆元》

 $G$ を群とする.
(1)
(G2) を満たす $e$ を $G$ の単位元 (unity), (G3) を満たす $a'$ を $a$ の逆元 (inverse) と呼ぶ.
(2)
加法群 $G$ において, 単位元を $0$ で, $a \in G$ の逆元を $-a$ です. 乗法群 $G$ において, 単位元を $1$ で, $a \in G$ の逆元を $a^{-1}$ で表す.

元の位数

 以下の一般論では, 群を乗法群として考え, その単位元を $e$ で表す.

命題《元の位数》

 $a$ を群 $G$ の元とする. $a^i = e$ を満たす正の整数 $i$ が存在するとき, その最小値を $a$ の位数 (order) と呼ぶ.

命題《元の位数の性質》

 $a,$ $b$ を群 $G$ の元とする.
(1)
$a$ の位数が $n$ であるための必要十分条件は, 各整数 $m$ に対して
$a^m = e$ $\iff$ $m$ は $n$ で割り切れる
が成り立つことである.
(2)
$a$ の位数が $n$ であり, $d$ が $n$ の約数であるならば, $a^{-1}$ の位数は $n$ であり, $a^d$ の位数は $\dfrac{n}{d}$ である.
(3)
$ab = ba$ であり, $a$ の位数 $m,$ $b$ の位数 $n$ が互いに素であるならば, $ab$ の位数は $mn$ である.

証明

(1)
  • $a$ の位数が $n$ であるとし, $m$ を整数とする.
    $(\Longrightarrow )$: $a^m = e$ であるとし, $m$ を $n$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおく. このとき, \[ e = a^m = a^{nq+r} = a^{nq}a^r = (a^n)^qa^r = e^qa^r = a^r\] となるから, 位数の最小性により $r = 0$ となる. よって, $m$ は $n$ で割り切れる.
    $(\Longleftarrow )$: $m$ が $n$ で割り切れるとき, \[ a^m = a^{n\cdot\frac{m}{n}} = (a^n)^{\frac{m}{n}} = e^{\frac{m}{n}} = e\] となる.
  • 各整数 $m$ に対して $(\iff )$ が成り立つとき, $n$ は $a^i = e$ を満たす最小の正の整数であるから, $n$ は $a$ の位数である.
(2)
  • 各整数 $m$ に対して
    $(a^{-1})^m = e$$\iff$ $a^{-m} = e$
    $\iff$ $-m$ は $n$ で割り切れる
    $\iff$ $m$ は $n$ で割り切れる
    が成り立つから, $a^{-1}$ の位数は $n$ である.
  • 各整数 $m$ に対して
    $(a^d)^m = e$$\iff$ $a^{dm} = e$
    $\iff$ $dm$ は $n$ で割り切れる
    $\iff$ $m$ は $\dfrac{n}{d}$ で割り切れる
    が成り立つから, $a^d$ の位数は $\dfrac{n}{d}$ である.
(3)
$ab$ の位数を $l$ とおく.
  • $mn$ が $l$ で割り切れることが, \[ (ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (a^m)^n(b^n)^m = e^ne^m = e\] から従う.
  • $l$ が $mn$ で割り切れることを示す. \[\begin{aligned} (ab)^{ln} &= ((ab)^l)^n = e^n = e, \\ (ab)^{ln} &= a^{ln}b^{ln} = a^{ln}(b^{n})^l = a^{ln}e^l = a^{ln} \end{aligned}\] から $a^{ln} = e$ であるので, $ln$ は $m$ で割り切れ, よって $l$ は $m$ で割り切れる. 同様に, $l$ は $n$ で割り切れる. したがって, $l$ は $mn$ で割り切れる.
ゆえに, $l = mn$ である.

部分群

定義《部分群》

 $H$ を群 $G$ の空でない部分集合とする. $H$ が $G$ の二項演算に関して群をなすとき, $H$ を $G$ の部分群 (subgroup) と呼ぶ.

命題《部分群の判定法》

 群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ の部分群であるためには, $e \in H$ と \[ a,\ b \in H \Longrightarrow ab,\ a^{-1} \in H\] の成り立つことが必要十分である.

証明

 結合法則 (G1) は, $G$ の任意の元に対する条件であるから, $H$ の任意の元に対しても成り立つ. よって, $G$ における二項演算から $H$ の二項演算が定まるという \[ a,\ b \in H \Longrightarrow ab \in H\] と, 単位元の存在 (G2), 逆元の存在 (G3) が成り立つときに限り, $H$ は $G$ の部分群になる.

例《部分群》

 非負整数 $n$ に対して, $n$ の倍数全体の集合 $n\mathbb Z$ は $\mathbb Z$ の部分群をなす.

命題《部分群の共通部分》

 群 $G$ の部分群からなる集合族 $\{ H_\lambda \} _{\lambda \in \mathit\Lambda }$ の共通部分 $\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \mathit\Lambda}H_\lambda$ は $G$ の部分群である.

証明

 $H = \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \mathit\Lambda}H_\lambda$ とおく.
  • 各部分群 $H_\lambda$ $(\lambda \in \mathit\Lambda )$ は $G$ の単位元を含むから, $H$ もそれを含む.
  • $a,b \in H$ のとき, 各部分群 $H_\lambda$ $(\lambda \in \mathit\Lambda )$ は
    $a,$ $b \in H_\lambda$ よって $ab,\ a^{-1} \in H_\lambda$
    を満たすから, $ab,$ $a^{-1} \in H$ である.
以上から, $H$ は $G$ の部分群である.

定義《左側剰余類, 右側剰余類》

 群 $G$ の部分群 $H,$ $G$ の元 $a$ について, 集合 \[ aH = \{ ah \mid h \in H\}, \quad Ha = \{ ha \mid h \in H\}\] をそれぞれ $H$ を法とする $a$ の左側剰余類, 右側剰余類と呼び, $a$ を $aH,$ $Ha$ の代表と呼ぶ. $G$ の演算が $*$ であるとき, $aH,$ $Ha$ をそれぞれ $a*H,$ $H*a$ で表す.

命題《左側剰余類, 右側剰余類の性質》

 $G$ を群, $H$ をその部分群とし, $a_1,$ $a_2 \in G$ とする.
(1)
$2$ つの左側剰余類 $a_1H,$ $a_2H$ は共通部分をもたないか, 一致するかのどちらかである. また, $2$ つの右側剰余類 $Ha_1,$ $Ha_2$ は共通部分をもたないか, 一致するかのどちらかである.
(2)
左側剰余類に関する $4$ つの条件 \[ a_1H = a_2H, \quad a_1{}^{-1}a_2H = H, \quad a_1{}^{-1}a_2 \in H, \quad a_2 \in a_1H\] は同値である. また, 右側剰余類に関する $4$ つの条件 \[ Ha_1 = Ha_2, \quad Ha_2a_1{}^{-1} = H, \quad a_2a_1{}^{-1} \in H, \quad a_2 \in Ha_1\] は同値である.

証明

(1)
左側剰余類について示す. $a_1H\cap a_2H \neq \varnothing$ のとき, $H$ の $2$ つの元 $h_1,$ $h_2$ に対して $a_1h_1 = a_2h_2$ となり, $H$ の各元 $h$ に対して \[\begin{aligned} a_1h &= a_2h_2h_1{}^{-1}h \in a_2H, \\ a_2h &= a_1h_1h_2{}^{-1}h \in a_1H \end{aligned}\] となるから, $a_1H = a_2H$ となる. ゆえに, $G$ は互いに共通部分をもたない左側剰余類に分けられる.
(2)
定義から直ちに従う.

定理《ラグランジュの定理》

 $G$ を有限群とする. このとき, $G$ の部分群 $H$ による左側剰余類の個数と右側剰余類の個数は一致する. これを $(G:H)$ で表すとき, \[\#\;\!G = (G:H)\,\#\;\!H\] が成り立つ. 特に, $\#\;\!H$ は $\#\;\!G$ の約数であり, $G$ の各元 $a$ の位数は $\#\;\!G$ の約数である.

証明

 $G$ が有限群であるという仮定から, $G$ は互いに共通部分をもたない有限個の左側剰余類の和集合として \[ G = a_1H\cup\cdots\cup a_lH \quad (a_1,\cdots,a_l \in G,\ a_1 = e)\] と表される. さらに, $H$ から $aH$ への写像 \[ h \mapsto ah\] は, $aH$ の定義により全射である. また, $ah = ah'$ $(h,h' \in H)$ であるとすると, $h = a^{-1}ah = a^{-1}ah' = h'$ となるから, これは単射である. よって, $\#\;\!(a_1H) = \cdots = \#\;\!(a_lH) = \#\;\!H$ であるから, \[\#\;\!G = \#\;\!(a_1H)+\cdots +\#\;\!(a_lH) = l\,\#\;\!H\] が成り立つ. 同様に右側剰余類の個数 $r$ についても $\#\;\!G = r\,\#\;\!H$ が成り立つから, $l = r$ であり, $\#\;\!G = (G:H)\,\#\;\!H$ が得られる.
 また, $a$ を $G$ の位数 $n$ の元として $H = \langle a\rangle = \{ e,a,\cdots,a^{n-1}\}$ とすると, $n$ は $H$ の位数になるから $\#\;\!G$ の約数であることが分かる.

正規部分群

命題《正規部分群》

 $G$ とその部分群 $N$ について, 次の (N), (N)' は同値である.
(N)
$G$ の各元 $s$ に対して, $sN = Ns$ が成り立つ.
(N)'
$G$ の各元 $s$ と $N$ の各元 $a$ に対して, $sas^{-1} \in N$ が成り立つ.

証明

 (N) $\Longrightarrow$ (N)' を示すため, (N) を仮定する. $s \in G,$ $a \in N$ とすると, $sa \in sN = Ns$ から $N$ のある元 $a'$ に対して $sa = a's$ となるので, $sas^{-1} = a' \in N$ が得られる. よって, (N)' が成り立つ.
 (N)' $\Longrightarrow$ (N) を示すため, (N)' を仮定する. $s \in G$ とする. $N$ の各元 $a$ に対して, $sas^{-1} \in N$ から, $N$ のある元 $a'$ に対して $sas^{-1} = a'$ となるので, $sa = a's \in Ns$ が得られる. よって, $sN \subset Ns$ が成り立つ. 同様に $Ns \subset sN$ も示せるから, $sN = Ns$ が成り立つ. よって, (N) が成り立つ.
 これで, (N) $\iff$ (N)' が示された.

定義《正規部分群》

 群 $G$ の部分群 $N$ が上記の命題の同値な条件 (N), (N)' を満たすとき, $N$ を $G$ の正規部分群 (normal subgroup) と呼ぶ. $N$ が $G$ の正規部分群であるとき, 左側剰余類, 右側剰余類を単に剰余類と呼ぶ.

命題《剰余群》

 群 $G$ の正規部分群 $N$ による剰余類全体の集合 \[ G/N = \{ aN \mid a \in G\}\] は, 演算 \[\begin{array}{rcl} (G/N)\times (G/N) & \to & G/N; \\ (aN,bN) & \mapsto & abN \quad (a,b \in G) \end{array}\] に関して群をなす. その単位元は $N$ であり, $aN$ の逆元は $a^{-1}N$ である.

証明

 $(aN)(bN) = abN$ $(a,b \in G)$ という演算は $aN,$ $bN$ の代表 $a,$ $b$ の取り方によらないことに注意する. 実際, $aN = a'N,$ $bN = b'N$ $(a',b' \in G)$ のとき, $N$ が正規部分群であることから \[ bb'^{-1} \in N, \quad a(bb'^{-1})a'^{-1} \in N\] となるので, \[ ab(a'b')^{-1} = a(bb'^{-1})a'^{-1} \in N\] から $abN = a'b'N$ が得られる.
(G1)
$G/N$ の各元 $aN,$ $bN,$ $cN$ $(a,b,c \in G)$ に対して \[\begin{aligned} &((aN)(bN))(cN) = (abN)(cN) = (ab)cN \\ &= a(bc)N = (aN)(bcN) = (aN)((bN)(cN)) \end{aligned}\] が成り立つ.
(G2)
$N = eN$ は $G/N$ の各元 $aN$ $(a \in G)$ に対して \[ (eN)(aN) = eaN = aN = aeN = (aN)(eN)\] を満たす.
(G3)
$G/N$ の各元 $aN$ $(a \in G)$ に対して $a^{-1}N$ は \[ (aN)(a^{-1}N) = aa^{-1}N = eN = a^{-1}aN = (a^{-1}N)(aN)\] を満たす.
(G1)~(G3) から, $G/N$ は群をなす.

定義《剰余群》

 上記の命題において, 群 $G/N$ を $G$ の $N$ による剰余群 (residue class group) と呼ぶ.

高校数学の問題

複素数平面

問題《複素数からなる乗法で閉じた集合》

 $n$ 個の $0$ でない複素数からなる集合 $G$ で
$z,$ $w \in G$ $\Longrightarrow$ $zw \in G$ $\cdots$(G0)
を満たすものを決定せよ.
(参考: $2001$ 京都府立医大)

解答例

 こちらを参照.

関数と極限

問題《$n$ 文字の置換の性質》

 $1$ 以上 $n$ 以下の整数全体 $A$ を定義域とする関数 $f(x)$ の値域が $A$ と一致するとする. $k$ 個の $f(x)$ を合成して得られる関数を $f^k(x)$ で表すとき, $f^k(1)\ (1 \leqq k \leqq n)$ が互いに異なるとする.
(1)
関数として $f^n(x) = x$ が成り立つことを示せ.
(2)
$f(x)$ の逆関数を, $f^k(x)$ $(1 \leqq k \leqq n)$ の形に表せ.

解答例

 こちらを参照.