与えられた直方体の縦の長さ, 横の長さ, 高さをそれぞれ $x,$ $y,$ $z$ とおき, \[ X = \sqrt[3]{x}, \quad Y = \sqrt[3]{y}, \quad Z = \sqrt[3]{z}\] とおく. このとき, 縦の長さ, 横の長さ, 高さの平均値 $A$ は \[ A = \dfrac{x+y+z}{3} = \dfrac{X^3+Y^3+Z^3}{3}\] である. また, 直方体の体積 $V$ は $V = xyz$ であるから, 体積が $V$ である立方体の $1$ 辺の長さ $G$ は \[ G = \sqrt[3]{xyz} = XYZ\] である. \[\begin{aligned} A-G &= \frac{X^3+Y^3+Z^3}{3}-XYZ \\ &= \frac{1}{3}(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX) \\ &= \frac{1}{6}(X+Y+Z)\{ (X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2\} \\ &\geqq 0 \end{aligned}\] であるから, $A \geqq G$ が成り立つ. ここで, 第 $2$ の等号は \[\begin{aligned} &X^3+Y^3+Z^3-3XYZ \\ &= (X+Y)^3-3XY(X+Y)+Z^3-3XYZ \\ &= (X+Y)^3+Z^3-3XY(X+Y+Z) \\ &= (X\!+\!Y\!+\!Z)^3\!-\!3(X\!+\!Y)Z(X\!+\!Y\!+\!Z)\!-\!3XY(X\!+\!Y\!+\!Z) \\ &= (X+Y+Z)\{ (X+Y+Z)^2-3(X+Y)Z-3XY\} \\ &= (X+Y+Z) \\ &\quad \times (X^2\!+\!Y^2\!+\!Z^2\!+\!2XY\!+\!2YZ\!+\!2ZX\!-\!3XY\!-\!3YZ\!-\!3ZX) \\ &= (X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX) \end{aligned}\] の両辺を $3$ で割ることで得られ, 第 $3$ の等号は \[\begin{aligned} &2(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX) \\ &= (X^2-2XY+Y^2)+(Y^2-2YZ+Z^2) \\ &\qquad +(Z^2-2ZX+X^2) \\ &= (X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2 \end{aligned}\] の両辺を $2$ で割ることで得られる. 等号成立は, $X-Y = Y-Z = Z-X = 0,$ $X = Y = Z,$ $x = y = z$ のとき, つまり直方体が立方体であるときに限る.

　立方体から切り取られてできる四面体において, 体積を $V,$ 直交する $3$ 本の辺の長さを $a,$ $b,$ $c$ とおき, 内接球の体積, 表面積, 半径をそれぞれ $W,$ $S,$ $r$ とおく.

(1)

まず, \[\begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot c = \frac{abc}{6}, \\ W &= \frac{4\pi r^3}{3} \end{aligned}\] であるから, \[\frac{W}{V} = \frac{8\pi r^3}{abc} \quad \cdots [1]\] である.

(2)

また, 立方体の切り口に対応する四面体の面は $3$ 辺の長さが $u = \sqrt{b^2+c^2},$ $v = \sqrt{c^2+a^2},$ $w = \sqrt{a^2+b^2}$ の三角形であるから, その面積 $S_0$ は, 長さが $v,$ $w$ の辺のなす角を $\theta$ として, \[\begin{aligned} S_0 &= \frac{1}{2}vw\sin\theta \\ &= \frac{1}{2}vw\sqrt{1-\cos ^2\theta} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{4v^2w^2-4v^2w^2\cos ^2\theta} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{4v^2w^2-(v^2+w^2-u^2)^2} \quad \cdots [\ast ] \end{aligned}\] と表せる. ここで, \[\begin{aligned} 4v^2w^2 &= 4(c^2+a^2)(a^2+b^2) \\ &= 4\{ a^4+(b^2+c^2)a^2+b^2c^2\} \\ &= 4(a^4+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2), \\ (v^2+w^2-u^2)^2 &= \{ (c^2+a^2)+(a^2+b^2)-(b^2+c^2)\} ^2 \\ &= (2a^2)^2 \\ &= 4a^4 \\ \end{aligned}\] であるから, \[\begin{aligned} S_0 &= \frac{1}{4}\sqrt{4(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2} \end{aligned}\] である ($[\ast ]$ は「ヘロンの公式」の亜種であり, これを既知として解いてもよい).

(3)

よって, 四面体の表面積は \[ S = \frac{bc+ca+ab+\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}}{2}\] であるので, $V = \dfrac{1}{3}Sr$ から, \[\begin{aligned} r &= \frac{3V}{S} \\ &= \frac{abc}{bc+ca+ab+\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}} \quad \cdots [2] \end{aligned}\] である.

(4)

$[2]$ を $[1]$ に代入すると, \[\frac{W}{V} = 8\pi\cdot\frac{(abc)^2}{(bc+ca+ab+\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2})^3}\] が得られる. ここで, $x = bc,$ $y = ca,$ $z = ab$ とおくと, \[\frac{W}{V} = \frac{8\pi xyz}{(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}\] となるから, \[\begin{aligned} x+y+z &\geqq 3\sqrt[3]{xyz}, \\ \sqrt{x^2+y^2+z^2} &\geqq \sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}} = \sqrt 3\sqrt[3]{xyz} \end{aligned}\] により, \[\frac{W}{V} \leqq \frac{8\pi xyz}{((3+\sqrt 3)\sqrt[3]{xyz})^3} = \frac{8\pi}{(3+\sqrt 3)^3}\] となる. 等号成立は $x = y = z$ つまり $a = b = c$ のときに限る. ゆえに, 四面体の体積に対する内接球の体積の比が最大になるのは, 四面体の直交する $3$ 本の辺の長さが等しいときである.

　$\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BC}$ が平行で $\mathrm{AD} < \mathrm{BC}$ なる台形 $\mathrm{ABCD}$ を考え, その底辺の長さを $a = \mathrm{AD},$ $b = \mathrm{BC},$ 高さを $h$ とおく. $2$ 本の脚 $\mathrm{AB},$ $\mathrm{DC}$ を結び, 底辺に平行な線分のうち, 面積を二等分する線分 ($\mathrm{AB},$ $\mathrm{DC}$ との交点をそれぞれ $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ とする) の長さを $r,$ 高さを二等分する線分の長さを $m$ とおく.

(1)

$r$ の値を求める. $\mathrm A,$ $\mathrm D$ から $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm H,$ $\mathrm K$ とおき, $\mathrm{PQ}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm H_0,$ $\mathrm K_0$ とおく.

$\triangle\mathrm{APH}_0$ と $\triangle\mathrm{ABH},$ $\triangle\mathrm{DQK}_0$ と $\triangle\mathrm{DCK}$ はそれぞれ相似だから, \[\frac{h_0}{h} = \frac{\mathrm{PH}_0}{\mathrm{BH}} = \frac{\mathrm{QK}_0}{\mathrm{CK}}\] よって \[\frac{h_0}{h} = \frac{\mathrm{PH}_0+\mathrm{QK}_0}{\mathrm{BH}+\mathrm{CK}} = \frac{r-a}{b-a}\] が成り立つ (「加比の理」, こちらを参照). 一方, 線分 $\mathrm{PQ}$ は台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を二等分するから, \[ 2\cdot\frac{(a+r)h_0}{2} = \frac{(a+b)h}{2}\] つまり \[ 2(r+a)h_0 = (b+a)h\] が成り立つ. これに $h_0 = \dfrac{r-a}{b-a}h$ を代入すると, \[\begin{aligned} 2(r+a)\cdot\frac{r-a}{b-a}h &= (b+a)h \\ 2(r+a)(r-a) &= (b+a)(b-a) \\ 2(r^2-a^2) &= b^2-a^2 \\ 2r^2 &= a^2+b^2 \\ r^2 &= \frac{a^2+b^2}{2} \\ r &= \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \end{aligned}\] が得られる.

(2)

$m$ の値を求める. $m$ は線分 $\mathrm{AH}$ の垂直二等分線の台形 $\mathrm{ABCD}$ 上の部分の長さに等しいから, 中点連結定理により \[ m = \frac{a+b}{2}\] である.

(3)

$r,$ $m$ の値を比較する. \[\begin{aligned} r^2-m^2 &= \frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right) ^2 \\ &= \frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \\ &= \frac{a^2-2ab+b^2}{4} \\ &= \frac{(a-b)^2}{4} \\ &> 0 \quad (\because a < b) \end{aligned}\] であるから, $r^2 > m^2$ つまり $r > m$ である. ゆえに, 面積を二等分する線分の方が長い.

　$\{ a_1,\cdots,a_n\} = \{ 1,\cdots,n\}$ とする. 数列 $\{ ka_k\}$ の和 $S = \displaystyle\sum_{k = 1}^nka_k$ の最大値を求めればよい. $(a_k-k)^2 = a_k{}^2-2ka_k+k^2$ であるから, \[ ka_k = \frac{1}{2}\{ a_k{}^2+k^2-(a_k-k)^2\}\] が成り立つ. $k = 1,$ $\cdots,$ $n$ を代入して辺々を加えると \[\begin{aligned} S &= \sum_{k = 1}^nka_k \\ &= \frac{1}{2}\left\{\sum_{k = 1}^na_k{}^2+\sum_{k = 1}^nk^2-\sum_{k = 1}^n(a_k-k)^2\right\} \\ &= \sum_{k = 1}^nk^2-\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^n(a_k-k)^2 \\ &= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^n(a_k-k)^2 \end{aligned}\] が得られるから, $S$ は $a_k = k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ のとき最大値 \[\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\] をとる.