本格数学クイズ (不等式)
不等式
クイズ《$3$ 変数の相加・相乗平均の不等式》
体積が $V$ である直方体の縦の長さ, 横の長さ, 高さの平均値と, 体積が $V$ である立方体の $1$ 辺の長さは, どちらの方が長いか.
(有名問題)
答え
与えられた直方体が立方体であるとき両者は等しく, そうでないとき前者の方が長い.
解説
与えられた直方体の縦の長さ, 横の長さ, 高さをそれぞれ $x,$ $y,$ $z$ とおき,
\[ X = \sqrt[3]{x}, \quad Y = \sqrt[3]{y}, \quad Z = \sqrt[3]{z}\]
とおく.
このとき, 縦の長さ, 横の長さ, 高さの平均値 $A$ は
\[ A = \dfrac{x+y+z}{3} = \dfrac{X^3+Y^3+Z^3}{3}\]
である.
また, 直方体の体積 $V$ は $V = xyz$ であるから, 体積が $V$ である立方体の $1$ 辺の長さ $G$ は
\[ G = \sqrt[3]{xyz} = XYZ\]
である.
\[\begin{aligned}
A-G &= \frac{X^3+Y^3+Z^3}{3}-XYZ \\
&= \frac{1}{3}(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX) \\
&= \frac{1}{6}(X+Y+Z)\{ (X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2\} \\
&\geqq 0
\end{aligned}\]
であるから, $A \geqq G$ が成り立つ.
ここで, 第 $2$ の等号は
\[\begin{aligned}
&X^3+Y^3+Z^3-3XYZ \\
&= (X+Y)^3-3XY(X+Y)+Z^3-3XYZ \\
&= (X+Y)^3+Z^3-3XY(X+Y+Z) \\
&= (X\!+\!Y\!+\!Z)^3\!-\!3(X\!+\!Y)Z(X\!+\!Y\!+\!Z)\!-\!3XY(X\!+\!Y\!+\!Z) \\
&= (X+Y+Z)\{ (X+Y+Z)^2-3(X+Y)Z-3XY\} \\
&= (X+Y+Z) \\
&\quad \times (X^2\!+\!Y^2\!+\!Z^2\!+\!2XY\!+\!2YZ\!+\!2ZX\!-\!3XY\!-\!3YZ\!-\!3ZX) \\
&= (X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)
\end{aligned}\]
の両辺を $3$ で割ることで得られ, 第 $3$ の等号は
\[\begin{aligned}
&2(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX) \\
&= (X^2-2XY+Y^2)+(Y^2-2YZ+Z^2) \\
&\qquad +(Z^2-2ZX+X^2) \\
&= (X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2
\end{aligned}\]
の両辺を $2$ で割ることで得られる.
等号成立は, $X-Y = Y-Z = Z-X = 0,$ $X = Y = Z,$ $x = y = z$ のとき, つまり直方体が立方体であるときに限る.
クイズ《積の和の最大値》
$2$ 人 $1$ チームでゲームを行う.
全員が $1$ 番から $n$ 番までの合計 $n$ 枚の番号札を持ち, チームごとに $n$ 回に分けて $2$ 人同時に番号札を $1$ 枚ずつ場に出して, $2$ 枚の番号の積の合計をチームの得点とする.
このゲームの得点として考えられる値は最大でいくらか.
ただし, それぞれの番号札は $1$ 回しか使えないものとする.
(有名問題)
答え
$\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1).$
解説
$\{ a_1,\cdots,a_n\} = \{ 1,\cdots,n\}$ とする.
数列 $\{ ka_k\}$ の和 $S = \displaystyle\sum_{k = 1}^nka_k$ の最大値を求めればよい.
$(a_k-k)^2 = a_k{}^2-2ka_k+k^2$ であるから,
\[ ka_k = \frac{1}{2}\{ a_k{}^2+k^2-(a_k-k)^2\}\]
が成り立つ.
$k = 1,$ $\cdots,$ $n$ を代入して辺々を加えると
\[\begin{aligned}
S &= \sum_{k = 1}^nka_k \\
&= \frac{1}{2}\left\{\sum_{k = 1}^na_k{}^2+\sum_{k = 1}^nk^2-\sum_{k = 1}^n(a_k-k)^2\right\} \\
&= \sum_{k = 1}^nk^2-\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^n(a_k-k)^2 \\
&= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^n(a_k-k)^2
\end{aligned}\]
が得られるから, $S$ は $a_k = k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ のとき最大値
\[\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]
をとる.
参考
$x_1 \geqq \cdots \geqq x_n,$ $y_1 \geqq \cdots \geqq y_n,$ $\{\sigma (1),\cdots,\sigma (n)\} = \{ 1,\cdots,n\}$ のとき,
\[\sum_{k = 1}^nx_ky_{n-k+1} \leqq \sum_{k = 1}^nx_ky_{\sigma (k)} \leqq \sum_{k = 1}^nx_ky_k\]
が成り立ち, さらに $x_n \geqq 0,$ $y_n \geqq 0$ であれば
\[\begin{aligned}
(x_1+y_1)\cdots (x_n+y_n) &\leqq \{ x_1+y_{\sigma (1)}\}\cdots\{ x_n+y_{\sigma (n)}\} \\
&\leqq (x_1+y_n)\cdots (x_n+y_1)
\end{aligned}\]
が成り立つことが知られている.
これらの不等式は「並べ替え不等式」 (rearrangement inequalities) として知られている.