本格数学クイズ (さまざまな解析学)
無理数論
クイズ《無理数の無理数乗》
無理数の無理数乗として表される有理数は存在するか.
存在する場合にはその一例を挙げ, 存在しない場合にはその理由を説明せよ.
(有名問題, 参考: $2020$ 横浜市立大)
答え
存在する, $\sqrt 2^{\sqrt 2}$ または $(\sqrt 2^{\sqrt 2})^{\sqrt 2}.$
解説
$a = \sqrt 2^{\sqrt 2}$ とする.
- (i)
- $a$ が有理数であるとき (実際は偽). $\sqrt 2$ は無理数であるから, $a$ が無理数の無理数乗として表される有理数の一例を与える.
- (ii)
- $a$ が無理数であるとき (実際は真). \[ a^{\sqrt 2} = (\sqrt 2^{\sqrt 2})^{\sqrt 2} = (\sqrt 2)^{\sqrt 2\cdot\sqrt 2} = (\sqrt 2)^2 = 2\] が無理数の無理数乗として表される有理数の一例を与える.
参考
$2^{\sqrt 2}$ のような実数が無理数であるかどうかは, 長い間未解決であった.
次の「ゲルフォント=シュナイダーの定理」(A. Gel'fond, T. Schneider, $1934$ 年) が示されたことにより, $2^{\sqrt 2},$ $\sqrt 2^{\sqrt 2}$ などの実数が無理数であることが明らかになった:
$0$ でも $1$ でもない「代数的数」$\alpha$ と, 有理数でない「代数的数」$\beta$ に対して, $\alpha ^\beta$ は「超越数」である.
ただし, ある有理数係数多項式 $f(x)$ に対して $f(x) = 0$ の解である複素数を「代数的数」(algebraic number) と呼び,「代数的数」でない複素数を「超越数」(transcendence number) と呼ぶ.
例えば, $\sqrt 2$ は「代数的数」, $2^{\sqrt 2},$ $2^{\frac{1}{2}+\sqrt 2}$ は「超越数」である.
また, $(\sqrt 2^{\sqrt 2})^{\sqrt 2}$ は無理数の無理数乗として表される有理数の一例を与える.