本格数学クイズ (さまざまな幾何学)
フラクタル幾何学
クイズ《コッホ雪片の一般化》
$p$ を $3$ 以上の整数とする.
$K_0$ を正 $p$ 角形として, 多角形 $K_n$ $(n \geqq 0)$ の各辺の $3$ 等分点を隣り合う $2$ つの頂点とするような正 $p$ 角形を $K_n$ の外側に重なりを許して貼り合わせることで多角形 $K_{n+1}$ を定める.
このとき, $K_n$ ののべ面積 (重なりも加算) が有限な値に近づいていく $p$ の最大値はいくらか.
(オリジナル)
答え
$7.$
解説
$K_n$ ののべ面積を $S_n$ とおく.
$K_n$ から $K_{n+1}$ を作るとき, $1$ 辺の長さが $\dfrac{1}{3^{n+1}}$ の正 $p$ 角形 $p(p+1)^n$ 個が貼り合わせられるから,
\[ S_{n+1}-S_n = p(p+1)^n\cdot\left(\frac{1}{3^{n+1}}\right)^2S_0 = \frac{p}{9}\left(\frac{p+1}{9}\right) ^nS_0\]
が成り立つ.
ゆえに,
\[\begin{aligned}
\lim\limits_{n \to \infty}S_n &= \lim\limits_{n \to \infty}S_{n+1} \\
&= \lim\limits_{n \to \infty}\left\{ S_0+\sum_{k = 0}^n(S_{k+1}-S_k)\right\} \\
&= S_0+\sum_{n = 0}^\infty (S_{n+1}-S_n) \\
&= S_0+\frac{p}{9}S_0\sum_{n = 0}^\infty\left(\frac{p+1}{9}\right) ^n \\
&= \begin{cases}
S_0\left( 1+\dfrac{p}{9}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{p+1}{9}}\right) & (3 \leqq p \leqq 7), \\
\infty & (p \geqq 8)
\end{cases}
\end{aligned}\]
であるから, 求める $p$ の最大値は $7$ である.
参考
$K_0$ の $1$ 辺の長さが $1$ のとき,
\[ S_0 = \frac{p}{4\tan\dfrac{\pi}{p}}\]
であるから (こちらを参照), $p \leqq 7$ のとき
\[\lim\limits_{n \to \infty}S_n = \dfrac{p}{4\tan\dfrac{\pi}{p}}\left( 1+\dfrac{p}{8-p}\right)\]
である.