テイラー展開
テイラー展開
$x = a$ を含む区間で, 何回でも微分可能な多くの重要な関数 $f(x)$ は,
\[ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]
と表せる.
ただし, $f^{(0)}(a) = f(a),$ $0! = 1$ と定める.
この表示を $f(x)$ の $x = a$ の周りのテイラー展開 (Taylor expansion) と呼ぶ.
$a = 0$ のときはマクローリン展開 (Maclaurin expansion) と呼ぶ.
例えば,
\[\begin{aligned}
e^x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \\
\log (1+x) &= \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \quad (-1 < x \leqq 1), \\
\cos x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}, \\
\sin x &= \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
\end{aligned}\]
といった関数のテイラー展開が有名である.
高校数学の問題
微分法 (理系)
問題《指数関数の近似とその応用》
$n$ を $2$ 以上の整数とする.
- (1)
- すべての実数 $x$ に対して $x \leqq e^{x-1}$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
- (2)
- 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ が $x_1+\cdots +x_n = n$ を満たすとする. このとき, $x_1\cdots x_n \leqq 1$ が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
- (3)
- 正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して, $a = \dfrac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ とおく. このとき, \[ x_1\cdots x_n \leqq a^n\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(参考: $2007$ 横浜市立大)
解答例
こちらを参照.
問題《三角関数のマクローリン展開にまつわる不等式》
- (1)
- 各非負整数 $n$ に対して, 関数 $f_n(x)$ を \[ f_n(x) = \sum_{k = 0}^{2n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}-\sin x\] で定める. $n \geqq 1$ のとき, $f_n{}'(x),$ $f_n{}''(x),$ $f_n{}'''(x),$ $f_n{}''''(x)$ を求めよ.
- (2)
- $n$ を正の整数とする. $x \geqq 0$ において \[\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{2n-1}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} &\leqq \cos x \leqq \sum_{k = 0}^{2n}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}, \\ \sum_{k = 0}^{2n-1}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} &\leqq \sin x \leqq \sum_{k = 0}^{2n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} \end{aligned}\] が成り立つことを示せ.
解答例
こちらを参照.
積分法 (理系)
問題《指数関数のマクローリン展開にまつわる不等式》
$n$ を非負整数とする.
$x \geqq 0$ において
\[ e^x \geqq \sum_{k = 0}^n\frac{x^k}{k!} \quad \cdots [*]\]
が成り立つことを, 定積分の単調性
\[ f(t) \leqq g(t) \Longrightarrow \int_a^bf(t)dt \leqq \int_a^bg(t)dt\]
を使って示せ.
(参考: $2022$ 浜松医科大, $2021$ 室蘭工業大, $2013$ 同志社大ほか)
解答例
こちらを参照.
問題《対数関数のテイラー展開にまつわる不等式》
$m$ を正の整数, $0 \leqq x < 1$ とする.
次のことを示せ.
- (1)
- \[\sum_{n = 0}^\infty (-x)^n = \frac{1}{1+x}\] である.
- (2)
- \[\sum_{k = 0}^{2m-1}(-x)^k \leqq \frac{1}{1+x} \leqq \sum_{k = 0}^{2m}(-x)^k\] が成り立つ.
- (3)
- \[\sum_{k = 1}^{2m}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k \leqq \log (1+x) \leqq \sum_{k = 1}^{2m+1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k\] が成り立つ.
(参考: $2022$ 信州大)
解答例
こちらを参照.
問題《逆双曲線関数のテイラー展開にまつわる不等式》
$n$ を正の整数, $0 \leqq x < 1$ とする.
次のことを示せ.
- (1)
- \[\sum_{n = 0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}\] である.
- (2)
- \[\frac{1}{1-x^2} \geqq \sum_{k = 0}^nx^{2k}\] が成り立つ.
- (3)
- \[\frac{1}{2}\log\frac{1+x}{1-x} \geqq \sum_{k = 0}^n\frac{1}{2k+1}x^{2k+1}\] が成り立つ.
解答例
こちらを参照.
問題《三角関数のマクローリン展開にまつわる不等式》
$n$ を正の整数とする.
$x \geqq 0$ において
\[\begin{aligned}
\sum_{k = 0}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} &\leqq \cos x \leqq \sum_{k = 0}^{2n}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}, \\
\sum_{k = 0}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1} &\leqq \sin x \leqq \sum_{k = 0}^{2n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}
\end{aligned}\]
が成り立つことを, 定積分の単調性
\[ f(t) \leqq g(t) \Longrightarrow \int_a^bf(t)dt \leqq \int_a^bg(t)dt\]
を使って示せ.
解答例
こちらを参照.
問題《グレゴリー=ライプニッツ級数》
各正の整数 $n$ に対して関数 $f_n(t)$ を
\[ f_n(t) = \frac{1}{1+t^2}-\sum_{k = 0}^{n-1}(-t^2)^k\]
で定め, $\tan\theta\ \left( -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}\right)$ の逆関数を $\arctan x$ で表す.
次のことを示せ.
- (1)
- $f_n(t) = \dfrac{(-t^2)^n}{1+t^2}$ である.
- (2)
- $0 \leqq x \leqq 1$ のとき, $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty}\int_0^xf_n(t)dt = 0$ である.
- (3)
- $-1 \leqq x \leqq 1$ のとき, \[\mathrm{arctan}\,x = \sum\limits_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \quad \cdots [*]\] である. 特に, $\dfrac{\pi}{4} = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}$ である.
解答例
こちらを参照.
問題《メルカトル級数とその項の並べ替え》
- (1)
- $\displaystyle\sum_{k = 1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{k = 1}^n\frac{1}{n+k}$ を示せ.
- (2)
- 無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ の和を求めよ.
- (3)
- 項を並べ替えた無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}\right)$ の和を求めよ.
解答例
こちらを参照.