• ここで使用している記号は便宜的なものであり, 一般的でない記号もある.
• 多くの数列, 定数, 多項式には, さまざまな定義の仕方がある.
• $1$ 列目, $1$ 行目が灰色である数列 (二項係数などの $2$ 重数列を除く) の表において, $1$ 列目の数と $1$ 行目の数の和は対応する項が数列の第何項であるかを表す.
• 整数列については,『オンライン整数列大辞典』の整数列番号を (OEIS: A000290) のように付記した.

平方数 $n^2$ (OEIS: A000290)

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$
$10$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$	$256$	$289$	$324$	$361$	$400$
$20$	$441$	$484$	$529$	$576$	$625$	$676$	$729$	$784$	$841$	$900$
$30$	$961$	$1024$	$1089$	$1156$	$1225$	$1296$	$1369$	$1444$	$1521$	$1600$
$40$	$1681$	$1764$	$1849$	$1936$	$2025$	$2116$	$2209$	$2304$	$2401$	$2500$
$50$	$2601$	$2704$	$2809$	$2916$	$3025$	$3136$	$3249$	$3364$	$3481$	$3600$

平方因数をもたない $n$ 番目の正の整数 $a_n$ (OEIS: A005117)

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$2$	$3$	$5$	$6$	$7$	$10$	$11$	$13$	$14$
$10$	$15$	$17$	$19$	$21$	$22$	$23$	$26$	$29$	$30$	$31$
$20$	$33$	$34$	$35$	$37$	$38$	$39$	$41$	$42$	$43$	$46$
$30$	$47$	$51$	$53$	$55$	$57$	$58$	$59$	$61$	$62$	$65$
$40$	$66$	$67$	$69$	$70$	$71$	$73$	$74$	$77$	$78$	$79$
$50$	$82$	$83$	$85$	$86$	$87$	$89$	$91$	$93$	$94$	$95$

立方数 $n^3$ (OEIS: A000578)

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$8$	$27$	$64$	$125$	$216$	$343$	$512$	$729$	$1000$
$10$	$1331$	$1728$	$2197$	$2744$	$3375$	$4096$	$4913$	$5832$	$6859$	$8000$
$20$	$9261$	$10648$	$12167$	$13824$	$15625$	$17576$	$19683$	$21952$	$24389$	$27000$
$30$	$29791$	$32768$	$35937$	$39304$	$42875$	$46656$	$50653$	$54872$	$59319$	$64000$
$40$	$68921$	$74088$	$79507$	$85184$	$91125$	$97336$	$103823$	$110592$	$117649$	$125000$
$50$	$132651$	$140608$	$148877$	$157464$	$166375$	$175616$	$185193$	$195112$	$205379$	$216000$

三角数 $P_{3,n}$ (OEIS: A000217)

[定義]

$P_{3,1} = 1,$ $P_{3,n+1} = P_{3,n}+n+1.$　

[公式]

$P_{3,n} = \dfrac{n(n+1)}{2}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$	$21$	$28$	$36$	$45$	$55$
$10$	$66$	$78$	$91$	$105$	$120$	$136$	$153$	$171$	$190$	$210$
$20$	$231$	$253$	$276$	$300$	$325$	$351$	$378$	$406$	$435$	$465$
$30$	$496$	$528$	$561$	$595$	$630$	$666$	$703$	$741$	$780$	$820$
$40$	$861$	$903$	$946$	$990$	$1035$	$1081$	$1128$	$1176$	$1225$	$1275$
$50$	$1326$	$1378$	$1431$	$1485$	$1540$	$1596$	$1653$	$1711$	$1770$	$1830$

四角数 $P_{4,n}$ (OEIS: A000290)

[定義]

$P_{4,1} = 1,$ $P_{4,n+1} = P_{4,n}+2n+1.$　

[公式]

$P_{4,n} = n^2.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$
$10$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$	$256$	$289$	$324$	$361$	$400$
$20$	$441$	$484$	$529$	$576$	$625$	$676$	$729$	$784$	$841$	$900$
$30$	$961$	$1024$	$1089$	$1156$	$1225$	$1296$	$1369$	$1444$	$1521$	$1600$
$40$	$1681$	$1764$	$1849$	$1936$	$2025$	$2116$	$2209$	$2304$	$2401$	$2500$
$50$	$2601$	$2704$	$2809$	$2916$	$3025$	$3136$	$3249$	$3364$	$3481$	$3600$

五角数 $P_{5,n}$ (OEIS: A000326)

[定義]

$P_{5,1} = 1,$ $P_{5,n+1} = P_{5,n}+3n+1.$　

[公式]

$P_{5,n} = \dfrac{n(3n-1)}{2}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$5$	$12$	$22$	$35$	$51$	$70$	$92$	$117$	$100$
$10$	$145$	$176$	$210$	$247$	$287$	$330$	$376$	$425$	$477$	$532$
$20$	$651$	$715$	$782$	$852$	$925$	$1001$	$1080$	$1162$	$1247$	$1335$
$30$	$1426$	$1520$	$1617$	$1717$	$1820$	$1926$	$2035$	$2147$	$2262$	$2380$
$40$	$2501$	$2625$	$2752$	$2882$	$3015$	$3151$	$3290$	$3432$	$3577$	$3725$
$50$	$3876$	$4030$	$4187$	$4347$	$4510$	$4676$	$4845$	$5017$	$5192$	$5370$

六角数 $P_{6,n}$ (OEIS: A000384)

[定義]

$P_{6,1} = 1,$ $P_{6,n+1} = P_{6,n}+4n+1.$　

[公式]

$P_{6,n} = n(2n-1).$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$6$	$15$	$28$	$45$	$66$	$91$	$120$	$153$	$190$
$10$	$231$	$276$	$325$	$378$	$435$	$496$	$561$	$630$	$703$	$780$
$20$	$861$	$946$	$1035$	$1128$	$1225$	$1326$	$1431$	$1540$	$1653$	$1770$
$30$	$1891$	$2016$	$2145$	$2278$	$2415$	$2556$	$2701$	$2850$	$3003$	$3160$
$40$	$3321$	$3486$	$3655$	$3828$	$4005$	$4186$	$4371$	$4560$	$4753$	$4950$
$50$	$5151$	$5356$	$5565$	$5778$	$5995$	$6216$	$6441$	$6670$	$6903$	$7140$

中心付き三角数 $C_{3,n}$ (OEIS: A005448)

[定義]

$C_{3,1} = 1,$ $C_{3,n+1} = C_{3,n}+3n.$　

[公式]

$C_{3,n} = \dfrac{3n(n-1)}{2}+1.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$4$	$10$	$19$	$31$	$46$	$64$	$85$	$109$	$136$
$10$	$166$	$199$	$235$	$274$	$316$	$361$	$409$	$460$	$514$	$571$
$20$	$631$	$694$	$760$	$829$	$901$	$976$	$1054$	$1135$	$1219$	$1306$
$30$	$1396$	$1489$	$1585$	$1684$	$1786$	$1891$	$1999$	$2110$	$2224$	$2341$
$40$	$2461$	$2584$	$2710$	$2839$	$2971$	$3106$	$3244$	$3385$	$3529$	$3676$
$50$	$3826$	$3979$	$4135$	$4294$	$4456$	$4621$	$4789$	$4960$	$5134$	$5311$

中心付き四角数 $C_{4,n}$ (OEIS: A001844)

[定義]

$C_{4,1} = 1,$ $C_{4,n+1} = C_{4,n}+4n.$　

[公式]

$C_{4,n} = 2n(n-1)+1.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$5$	$13$	$25$	$41$	$61$	$85$	$113$	$145$	$181$
$10$	$221$	$265$	$313$	$365$	$421$	$481$	$545$	$613$	$685$	$761$
$20$	$841$	$925$	$1013$	$1105$	$1201$	$1301$	$1405$	$1513$	$1625$	$1741$
$30$	$1861$	$1985$	$2113$	$2245$	$2381$	$2521$	$2665$	$2813$	$2965$	$3121$
$40$	$3281$	$3445$	$3613$	$3785$	$3961$	$4141$	$4325$	$4513$	$4705$	$4901$
$50$	$5101$	$5305$	$5513$	$5725$	$5941$	$6161$	$6385$	$6613$	$6845$	$7081$

中心付き五角数 $C_{5,n}$ (OEIS: A005891)

[定義]

$C_{5,1} = 1,$ $C_{5,n+1} = C_{5,n}+5n.$　

[公式]

$C_{5,n} = \dfrac{5n(n-1)}{2}+1.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$6$	$16$	$31$	$51$	$76$	$106$	$141$	$181$	$226$
$10$	$276$	$331$	$391$	$456$	$526$	$601$	$681$	$766$	$856$	$951$
$20$	$1051$	$1156$	$1266$	$1381$	$1501$	$1626$	$1756$	$1891$	$2031$	$2176$
$30$	$2326$	$2481$	$2641$	$2806$	$2976$	$3151$	$3331$	$3516$	$3706$	$3901$
$40$	$4101$	$4306$	$4516$	$4731$	$4951$	$5176$	$5406$	$5641$	$5881$	$6126$
$50$	$6376$	$6631$	$6891$	$7156$	$7426$	$7701$	$7981$	$8266$	$8556$	$8851$

中心付き六角数 $C_{6,n}$ (OEIS: A003215)

[定義]

$C_{6,1} = 1,$ $C_{6,n+1} = C_{6,n}+6n.$　

[公式]

$C_{6,n} = 3n(n-1)+1.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$7$	$19$	$37$	$61$	$91$	$127$	$169$	$217$	$271$
$10$	$331$	$397$	$469$	$547$	$631$	$721$	$817$	$919$	$1027$	$1141$
$20$	$1261$	$1387$	$1519$	$1657$	$1801$	$1951$	$2107$	$2269$	$2437$	$2611$
$30$	$2791$	$2977$	$3169$	$3367$	$3571$	$3781$	$3997$	$4219$	$4447$	$4681$
$40$	$4921$	$5167$	$5419$	$5677$	$5941$	$6211$	$6487$	$6769$	$7057$	$7351$
$50$	$7651$	$7957$	$8269$	$8587$	$8911$	$9241$	$9577$	$9919$	$10267$	$10621$

三角錐数 $S_{3,n}$ (OEIS: A000292)

[定義]

$S_{3,n} = P_{3,1}+\cdots +P_{3,n}.$　

[公式]

$S_{3,n} = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$4$	$10$	$20$	$35$	$56$	$84$	$120$	$165$	$220$
$10$	$286$	$364$	$455$	$560$	$680$	$816$	$969$	$1140$	$1330$	$1540$
$20$	$1771$	$2024$	$2300$	$2600$	$2925$	$3276$	$3654$	$4060$	$4495$	$4960$
$30$	$5456$	$5984$	$6545$	$7140$	$7770$	$8436$	$9139$	$9880$	$10660$	$11480$
$40$	$12341$	$13244$	$14190$	$15180$	$16215$	$17296$	$18424$	$19600$	$20825$	$22100$
$50$	$23426$	$24804$	$26235$	$27720$	$29260$	$30856$	$32509$	$34220$	$35990$	$37820$

四角錐数 $S_{4,n}$ (OEIS: A000330)

[定義]

$S_{4,n} = P_{4,1}+\cdots +P_{4,n}.$　

[公式]

$S_{4,n} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$5$	$14$	$30$	$55$	$91$	$140$	$204$	$285$	$385$
$10$	$506$	$650$	$819$	$1015$	$1240$	$1496$	$1785$	$2109$	$2470$	$2870$
$20$	$3311$	$3795$	$4324$	$4900$	$5525$	$6201$	$6930$	$7714$	$8555$	$9455$
$30$	$10416$	$11440$	$12529$	$13685$	$14910$	$16206$	$17575$	$19019$	$20540$	$22140$
$40$	$23821$	$25585$	$27434$	$29370$	$31395$	$33511$	$35720$	$38024$	$40425$	$42925$
$50$	$45526$	$48230$	$51039$	$53955$	$56980$	$60116$	$63365$	$66729$	$70210$	$73810$

五角錐数 $S_{5,n}$ (OEIS: A002411)

[定義]

$S_{5,n} = P_{5,1}+\cdots +P_{5,n}.$　

[公式]

$S_{5,n} = \dfrac{n^2(n+1)}{2}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$6$	$18$	$40$	$75$	$126$	$196$	$288$	$405$	$550$
$10$	$726$	$936$	$1183$	$1470$	$1800$	$2176$	$2601$	$3078$	$3610$	$4200$
$20$	$4851$	$5566$	$6348$	$7200$	$8125$	$9126$	$10206$	$11368$	$12615$	$13950$
$30$	$15376$	$16896$	$18513$	$20230$	$22050$	$23976$	$26011$	$28158$	$30420$	$32800$
$40$	$35301$	$37926$	$40678$	$43560$	$46575$	$49726$	$53016$	$56448$	$60025$	$63750$
$50$	$67626$	$71656$	$75843$	$80190$	$84700$	$89376$	$94221$	$99238$	$104430$	$109800$

六角錐数 $S_{6,n}$ (OEIS: A002412)

[定義]

$S_{6,n} = P_{6,1}+\cdots +P_{6,n}.$　

[公式]

$S_{6,n} = \dfrac{n(n+1)(4n-1)}{6}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$7$	$22$	$50$	$95$	$161$	$252$	$372$	$525$	$715$
$10$	$946$	$1222$	$1547$	$1925$	$2360$	$2856$	$3417$	$4047$	$4750$	$5530$
$20$	$6391$	$7337$	$8372$	$9500$	$10725$	$12051$	$13482$	$15022$	$16675$	$18445$
$30$	$20336$	$22352$	$24497$	$26775$	$29190$	$31746$	$34447$	$37297$	$40300$	$43460$
$40$	$46781$	$50267$	$53922$	$57750$	$61755$	$65941$	$70312$	$74872$	$79625$	$84575$
$50$	$89726$	$95082$	$100647$	$106425$	$112420$	$118636$	$125077$	$131747$	$138650$	$145790$

$n$ 番目の素数 $p_n$ (OEIS: A000040)

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$
$10$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$	$61$	$67$	$71$
$20$	$73$	$79$	$83$	$89$	$97$	$101$	$103$	$107$	$109$	$113$
$30$	$127$	$131$	$137$	$139$	$149$	$151$	$157$	$163$	$167$	$173$
$40$	$179$	$181$	$191$	$193$	$197$	$199$	$211$	$223$	$227$	$229$
$50$	$233$	$239$	$241$	$251$	$257$	$263$	$269$	$271$	$277$	$281$
$60$	$283$	$293$	$307$	$311$	$313$	$317$	$331$	$337$	$347$	$349$
$70$	$353$	$359$	$367$	$373$	$379$	$383$	$389$	$397$	$401$	$409$
$80$	$419$	$421$	$431$	$433$	$439$	$443$	$449$	$457$	$461$	$463$
$90$	$467$	$479$	$487$	$491$	$499$	$503$	$509$	$521$	$523$	$541$

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$100$	$547$	$557$	$563$	$569$	$571$	$577$	$587$	$593$	$599$	$601$
$110$	$607$	$613$	$617$	$619$	$631$	$641$	$643$	$647$	$653$	$659$
$120$	$661$	$673$	$677$	$683$	$691$	$701$	$709$	$719$	$727$	$733$
$130$	$739$	$743$	$751$	$757$	$761$	$769$	$773$	$787$	$797$	$809$
$140$	$811$	$821$	$823$	$827$	$829$	$839$	$853$	$857$	$859$	$863$
$150$	$877$	$881$	$883$	$887$	$907$	$911$	$919$	$929$	$937$	$941$
$160$	$947$	$953$	$967$	$971$	$977$	$983$	$991$	$997$	$1009$	$1013$
$170$	$1019$	$1021$	$1031$	$1033$	$1039$	$1049$	$1051$	$1061$	$1063$	$1069$
$180$	$1087$	$1091$	$1093$	$1097$	$1103$	$1109$	$1117$	$1123$	$1129$	$1151$
$190$	$1153$	$1163$	$1171$	$1181$	$1187$	$1193$	$1201$	$1213$	$1217$	$1223$

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$200$	$1229$	$1231$	$1237$	$1249$	$1259$	$1277$	$1279$	$1283$	$1289$	$1291$
$210$	$1297$	$1301$	$1303$	$1307$	$1319$	$1321$	$1327$	$1361$	$1367$	$1373$
$220$	$1381$	$1399$	$1409$	$1423$	$1427$	$1429$	$1433$	$1439$	$1447$	$1451$
$230$	$1453$	$1459$	$1471$	$1481$	$1483$	$1487$	$1489$	$1493$	$1499$	$1511$
$240$	$1523$	$1531$	$1543$	$1549$	$1553$	$1559$	$1567$	$1571$	$1579$	$1583$
$250$	$1597$	$1601$	$1607$	$1609$	$1613$	$1619$	$1621$	$1627$	$1637$	$1657$
$260$	$1663$	$1667$	$1669$	$1693$	$1697$	$1699$	$1709$	$1721$	$1723$	$1733$
$270$	$1741$	$1747$	$1753$	$1759$	$1777$	$1783$	$1787$	$1789$	$1801$	$1811$
$280$	$1823$	$1831$	$1847$	$1861$	$1867$	$1871$	$1873$	$1877$	$1879$	$1889$
$290$	$1901$	$1907$	$1913$	$1931$	$1933$	$1949$	$1951$	$1973$	$1979$	$1987$

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$300$	$1993$	$1997$	$1999$	$2003$	$2011$	$2017$	$2027$	$2029$	$2039$	$2053$
$310$	$2063$	$2069$	$2081$	$2083$	$2087$	$2089$	$2099$	$2111$	$2113$	$2129$
$320$	$2131$	$2137$	$2141$	$2143$	$2153$	$2161$	$2179$	$2203$	$2207$	$2213$
$330$	$2221$	$2237$	$2239$	$2243$	$2251$	$2267$	$2269$	$2273$	$2281$	$2287$
$340$	$2293$	$2297$	$2309$	$2311$	$2333$	$2339$	$2341$	$2347$	$2351$	$2357$
$350$	$2371$	$2377$	$2381$	$2383$	$2389$	$2393$	$2399$	$2411$	$2417$	$2423$
$360$	$2437$	$2441$	$2447$	$2459$	$2467$	$2473$	$2477$	$2503$	$2521$	$2531$
$370$	$2539$	$2543$	$2549$	$2551$	$2557$	$2579$	$2591$	$2593$	$2609$	$2617$
$380$	$2621$	$2633$	$2647$	$2657$	$2659$	$2663$	$2671$	$2677$	$2683$	$2687$
$390$	$2689$	$2693$	$2699$	$2707$	$2711$	$2713$	$2719$	$2729$	$2731$	$2741$

メルセンヌ素数 (指数 → OEIS: A000043)

[定義]

メルセンヌ数 $2^p-1$ ($p$: 正の整数) の形の $n$ 番目の素数.

[性質]

メルセンヌ数 $2^p-1$ が素数ならば, $p$ は素数 (逆は偽).

メルセンヌ素数 $2^p-1$ は, 偶数の完全数 $2^{p-1}(2^p-1)$ と $1$ 対 $1$ に対応する.

[注意]

下表において, 近似値の小数点以下は切り捨てである.

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$2^2-1$ $= 3$	$2^3-1$ $= 7$	$2^5-1$ $= 31$	$2^7-1$ $= 127$	$2^{13}-1$ $= 8191$
$5$	$2^{17}-1$ $= 131071$	$2^{19}-1$ $= 524287$	$2^{31}-1$ $= 2147483647$	$2^{61}-1$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{18}$	$2^{89}-1$ $\fallingdotseq\! 6\!\times\!10^{26}$
$10$	$2^{107}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{32}$	$2^{127}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{38}$	$2^{521}-1$ $\fallingdotseq\! 6\!\times\!10^{156}$	$2^{607}-1$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{182}$	$2^{1279}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{385}$
$15$	$2^{2203}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{663}$	$2^{2281}-1$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{686}$	$2^{3217}-1$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{968}$	$2^{4253}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{1280}$	$2^{4423}-1$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{1331}$
$20$	$2^{9689}-1$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{2916}$	$2^{9941}-1$ $\fallingdotseq\! 3\!\times\!10^{2992}$	$2^{11213}-1$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{3375}$	$2^{19937}-1$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{6001}$	$2^{21701}-1$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{6532}$
$25$	$2^{23209}-1$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{6986}$	$2^{44497}-1$ $\fallingdotseq\! 8\!\times\!10^{13394}$	$2^{86243}-1$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{25961}$	$2^{110503}-1$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{33264}$	$2^{132049}-1$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{39750}$
$30$	$2^{216091}-1$ $\fallingdotseq\! 7\!\times\!10^{65049}$	$2^{756839}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{227831}$	$2^{859433}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{258715}$	$2^{1257787}-1$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{378631}$	$2^{1398269}-1$ $\fallingdotseq\! 8\!\times\!10^{420920}$
$35$	$2^{2976221}-1$ $\fallingdotseq\! 6\!\times\!10^{895931}$	$2^{3021377}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{909525}$	$2^{6972593}-1$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{2098959}$	$2^{13466917}-1$ $\fallingdotseq\! 9\!\times\!10^{4053945}$	$2^{20996011}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{6320429}$
$40$	$2^{24036583}-1$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{7235732}$	$2^{25964951}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{7816229}$	$2^{30402457}-1$ $\fallingdotseq\! 3\!\times\!10^{9152051}$	$2^{32582657}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{9808357}$	$2^{37156667}-1$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{11185271}$
$45$	$2^{42643801}-1$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{12837063}$	$2^{43112609}-1$ $\fallingdotseq\! 3\!\times\!10^{12978188}$	$2^{57885161}-1$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{17425169}$	$?$	$?$

フェルマー素数 (OEIS: A019434)

[定義]

フェルマー数 $F_n = 2^{2^n}+1$ $(n \geqq 0)$ の形の素数.

$n$	$+0$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$
$0$	$2^{2^0}+1$ $= 3$	$2^{2^1}+1$ $= 5$	$2^{2^2}+1$ $= 17$	$2^{2^3}+1$ $= 257$	$2^{2^4}+1$ $= 65537$

作図可能な正多角形の頂点の個数 (OEIS: A003401)

[定義]

目盛りのない定規とコンパスのみで作図可能な正多角形の頂点の個数.

[性質]

すべて $2^iF_1\cdots F_r$ ($i,$ $r$: 非負整数, $F_1,$ $\cdots,$ $F_r$: 相異なるフェルマー素数) の形に表される.

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$	$10$	$12$	$15$	$16$	$17$
$10$	$20$	$24$	$30$	$32$	$34$	$40$	$48$	$51$	$60$	$64$

ピアポント素数 (OEIS: A005109)

[定義]

$2^u3^v+1$ ($u,$ $v$: 非負整数) の形の素数.

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$2$	$3$	$5$	$7$	$13$
$5$	$17$	$19$	$37$	$73$	$97$
$10$	$109$	$163$	$193$	$257$	$433$
$15$	$487$	$577$	$769$	$1153$	$1297$
$20$	$1459$	$2593$	$2917$	$3457$	$3889$
$25$	$10369$	$12289$	$17497$	$18433$	$39367$
$30$	$52489$	$65537$	$139969$	$147457$	$209953$
$35$	$331777$	$472393$	$629857$	$746497$	$786433$

折り紙で作図可能な正多角形の頂点の個数 (OEIS: 該当なし)

[定義]

道具を使わずに折り紙で作図可能な正多角形の頂点の個数.

[性質]

すべて $2^i3^jP_1\cdots P_r$ ($i,$ $j,$ $r$: 非負整数, $P_1,$ $\cdots,$ $P_r$: 相異なるピアポント素数) の形に表される.

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$12$	$13$
$10$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$24$	$26$
$20$	$27$	$28$	$30$	$32$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$
$30$	$40$	$42$	$45$	$48$	$51$	$52$	$54$	$56$	$57$	$60$

$n$ 番目の階乗素数 (OEIS: A002981, A002982; A088332, A055490)

[定義]

$k!\pm 1$ ($k$: 正の整数) の形の素数.

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$1!+1$	$2!+1$	$3!-1$	$3!+1$	$4!-1$
$5$	$6!-1$	$7!-1$	$11!+1$	$12!-1$	$14!-1$
$10$	$27!+1$	$30!-1$	$32!-1$	$33!-1$	$37!+1$
$15$	$38!-1$	$41!+1$	$73!+1$	$77!+1$	$94!-1$
$20$	$116!+1$	$154!+1$	$166!-1$	$320!+1$	$324!-1$
$25$	$340!+1$	$379!-1$	$399!+1$	$427!+1$	$469!-1$
$30$	$546!-1$	$872!+1$	$974!-1$	$1477!+1$	$1963!-1$
$35$	$3507!-1$	$3610!-1$	$6380!+1$	$6917!-1$	$21480!-1$
$40$	$26951!+1$	$34790!-1$	$94550!-1$	$103040!-1$	$110059!+1$
$45$	$147855!-1$	$150209!+1$	$208003!-1$	$288465!+1$	$?$

$n$ 番目のソフィー・ジェルマン素数 $p_n,$ 安全素数 $q_n$ (OEIS: A005384, A005385)

[定義]

$p$ も $2p+1$ も素数であるとき, $p$ をソフィー・ジェルマン素数, $2p+1$ を安全素数と呼ぶ.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$p_n$	$2$	$3$	$5$	$11$	$23$	$29$	$41$	$53$	$83$	$89$
$q_n$	$5$	$7$	$11$	$23$	$47$	$59$	$83$	$107$	$167$	$179$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$p_n$	$113$	$131$	$173$	$179$	$191$	$233$	$239$	$251$	$281$	$293$
$q_n$	$227$	$263$	$347$	$359$	$383$	$467$	$479$	$503$	$563$	$587$

$n$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$
$p_n$	$359$	$419$	$431$	$443$	$491$	$509$	$593$	$641$	$653$	$659$
$q_n$	$719$	$839$	$863$	$887$	$983$	$1019$	$1187$	$1283$	$1307$	$1319$

$n$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$	$40$
$p_n$	$683$	$719$	$743$	$761$	$809$	$911$	$953$	$1013$	$1019$	$1031$
$q_n$	$1367$	$1439$	$1487$	$1523$	$1619$	$1823$	$1907$	$2027$	$2039$	$2063$

カーマイケル数 (OEIS: A002997)

[定義]

フェルマー・テストを通過する (つまり任意の整数 $a$ に対して $a^q \equiv a \pmod q$ を満たす) 合成数 $q.$

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$561$	$1105$	$1729$	$2465$	$2821$	$6601$	$8911$	$10585$	$15841$	$29341$
$10$	$41041$	$46657$	$52633$	$62745$	$63973$	$75361$	$101101$	$115921$	$126217$	$162401$

$n$ 番目の高度合成数 $c_n,$ その正の約数の個数 $d(c_n)$ (OEIS: A002182, A002183)

[定義]

高度合成数: それ未満のどの正の整数よりも約数が多い正の整数.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$c_n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$12$	$24$	$36$	$48$	$60$	$120$
$d(c_n)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$8$	$9$	$10$	$12$	$16$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$c_n$	$180$	$240$	$360$	$720$	$840$	$1260$	$1680$	$2520$	$5040$	$7560$
$d(c_n)$	$18$	$20$	$24$	$30$	$32$	$36$	$40$	$48$	$60$	$64$

$n$ 番目の完全数 (OEIS: A000396)

[定義]

完全数: 正の約数の和が自身の $2$ 倍に等しい正の整数.

[性質]

偶数の完全数は $2^{p-1}(2^p-1)$ ($p$: 素数) の形に表され, メルセンヌ素数 $2^p-1$ と $1$ 対 $1$ に対応する.

[注意]

下表において, 近似値の小数点以下は切り捨てである.

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$2^1\times$ $(2^2-1)$ $= 6$	$2^2\times$ $(2^3-1)$ $= 28$	$2^4\times$ $(2^5-1)$ $= 496$	$2^6\times$ $(2^7-1)$ $= 8128$	$2^{12}\times$ $(2^{13}-1)$ $= 33550336$
$5$	$2^{16}\times$ $(2^{17}-1)$ $= 8589869056$	$2^{18}\times$ $(2^{19}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{11}$	$2^{30}\times$ $(2^{31}-1)$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{18}$	$2^{60}\times$ $(2^{61}-1)$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{36}$	$2^{88}\times$ $(2^{89}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\times\!10^{53}$
$10$	$2^{106}\times$ $(2^{107}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{64}$	$2^{126}\times$ $(2^{127}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{76}$	$2^{520}\times$ $(2^{521}-1)$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{313}$	$2^{606}\times$ $(2^{607}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{365}$	$2^{1278}\times$ $(2^{1279}-1)$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{769}$
$15$	$2^{2202}\times$ $(2^{2203}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{1326}$	$2^{2280}\times$ $(2^{2281}-1)$ $\fallingdotseq\! 9\!\times\!10^{1372}$	$2^{3216}\times$ $(2^{3217}-1)$ $\fallingdotseq\! 3\!\times\!10^{1936}$	$2^{4252}\times$ $(2^{4253}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{2560}$	$2^{4422}\times$ $(2^{4423}-1)$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{2662}$
$20$	$2^{9688}\times$ $(2^{9689}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{5833}$	$2^{9940}\times$ $(2^{9941}-1)$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{5984}$	$2^{11212}\times$ $(2^{11213}-1)$ $\fallingdotseq\! 3\!\times\!10^{6750}$	$2^{19936}\times$ $(2^{19937}-1)$ $\fallingdotseq\! 9\!\times\!10^{12002}$	$2^{21700}\times$ $(2^{21701}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{13065}$
$25$	$2^{23208}\times$ $(2^{23209}-1)$ $\fallingdotseq\! 8\!\times\!10^{13972}$	$2^{44496}\times$ $(2^{44497}-1)$ $\fallingdotseq\! 3\!\times\!10^{26789}$	$2^{86242}\times$ $(2^{86243}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{51923}$	$2^{110502}\times$ $(2^{110503}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{66529}$	$2^{132048}\times$ $(2^{132049}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{79501}$
$30$	$2^{216090}\times$ $(2^{216091}-1)$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{130099}$	$2^{756838}\times$ $(2^{756839}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{455662}$	$2^{859432}\times$ $(2^{859433}-1)$ $\fallingdotseq\! 8\!\times\!10^{517429}$	$2^{1257786}\times$ $(2^{1257787}-1)$ $\fallingdotseq\! 8\!\times\!10^{757262}$	$2^{1398268}\times$ $(2^{1398269}-1)$ $\fallingdotseq\! 3\!\times\!10^{841841}$
$35$	$2^{2976220}\times$ $(2^{2976221}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{1791863}$	$2^{3021376}\times$ $(2^{3021377}-1)$ $\fallingdotseq\! 8\!\times\!10^{1819049}$	$2^{6972592}\times$ $(2^{6972593}-1)$ $\fallingdotseq\! 9\!\times\!10^{4197918}$	$2^{13466916}\times$ $(2^{13466917}-1)$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{8107891}$	$2^{20996010}\times$ $(2^{20996011}-1)$ $\fallingdotseq\! 7\!\times\!10^{12640857}$
$40$	$2^{24036582}\times$ $(2^{24036583}-1)$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{14471464}$	$2^{25964950}\times$ $(2^{25964951}-1)$ $\fallingdotseq\! 7\!\times\!10^{15632457}$	$2^{30402456}\times$ $(2^{30402457}-1)$ $\fallingdotseq\! 4\!\times\!10^{18304102}$	$2^{32582656}\times$ $(2^{32582657}-1)$ $\fallingdotseq\! 7\!\times\!10^{19616713}$	$2^{37156666}\times$ $(2^{37156667}-1)$ $\fallingdotseq\! 2\!\times\!10^{22370542}$
$45$	$2^{42643800}\times$ $(2^{42643801}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{25674126}$	$2^{43112608}\times$ $(2^{43112609}-1)$ $\fallingdotseq\! 5\!\times\!10^{25956376}$	$2^{57885160}\times$ $(2^{57885161}-1)$ $\fallingdotseq\! 1\!\times\!10^{34850339}$	$?$	$?$

$n$ 番目の調和数 $a_n,$ そのすべての正の約数の調和平均 $h_n$ (OEIS: A001599, A001600)

[定義]

調和数: すべての正の約数の調和平均が整数である正の整数.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_n$	$1$	$6$	$28$	$140$	$270$
$h_n$	$1$	$2$	$3$	$5$	$6$

$n$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$a_n$	$496$	$672$	$1638$	$2970$	$6200$
$h_n$	$5$	$8$	$9$	$11$	$10$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$a_n$	$8128$	$8190$	$18600$	$18620$	$27846$
$h_n$	$7$	$15$	$15$	$14$	$17$

$n$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$a_n$	$30240$	$32760$	$55860$	$105664$	$117800$
$h_n$	$24$	$24$	$21$	$13$	$19$

$n$ 番目の友愛数 $(a_n,b_n)$ $(a_n < b_n)$ (OEIS: A002025, A002046)

[定義]

友愛数: 正の整数 $a,$ $b$ の組で, $a,$ $b$ の正の約数の総和がともに $a+b$ に等しいもの.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_n$	$220$	$1184$	$2620$	$5020$	$6232$
$b_n$	$284$	$1210$	$2924$	$5564$	$6368$

$n$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$a_n$	$10744$	$12285$	$17296$	$63020$	$66928$
$b_n$	$10856$	$14595$	$18416$	$76084$	$66992$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$a_n$	$67095$	$69615$	$79750$	$100485$	$122265$
$b_n$	$71145$	$87633$	$88730$	$124155$	$139815$

$n$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$a_n$	$122368$	$141664$	$142310$	$171856$	$176272$
$b_n$	$123152$	$153176$	$168730$	$176336$	$180848$

$n$ 番目の婚約数 $(a_n,b_n)$ $(a_n < b_n)$ (OEIS: A003502, A003503)

[定義]

婚約数: 正の整数 $a,$ $b$ の組で, $a,$ $b$ の正の約数の総和がともに $a+b+1$ に等しいもの.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_n$	$48$	$140$	$1050$	$1575$	$2024$
$b_n$	$75$	$195$	$1925$	$1648$	$2295$

$n$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$a_n$	$5775$	$8892$	$9504$	$62744$	$186615$
$b_n$	$6128$	$16587$	$20735$	$75495$	$206504$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$a_n$	$196664$	$199760$	$266000$	$312620$	$526575$
$b_n$	$219975$	$309135$	$507759$	$549219$	$544784$

$n$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$a_n$	$573560$	$587460$	$1000824$	$1081184$	$1139144$
$b_n$	$817479$	$1057595$	$1902215$	$1331967$	$1159095$

$n$ 番目のルース=アーロン・ペア $(a_n,a_n+1)$ (OEIS: A039752)

[定義]

ルース=アーロン・ぺア: 素因数の和が互いに等しい連続する $2$ 個の正の整数の組.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$a_n$	$5$	$8$	$15$	$77$	$125$	$714$	$948$	$1330$	$1520$	$1862$
$a_n+1$	$6$	$9$	$16$	$78$	$126$	$715$	$949$	$1331$	$1521$	$1863$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$a_n$	$2491$	$3248$	$4185$	$4191$	$5405$	$5560$	$5959$	$6867$	$8280$	$8463$
$a_n+1$	$2492$	$3249$	$4186$	$4192$	$5406$	$5561$	$5960$	$6868$	$8281$	$8464$

フィボナッチ数 $F_n$ (OEIS: A000045)

[定義]

$F_1 = F_2 = 1,$ $F_{n+2} = F_n+F_{n+1}.$　

[公式]

$F_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n-\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n\right\}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$	$55$
$10$	$89$	$144$	$233$	$377$	$610$	$987$	$1597$	$2584$	$4181$	$6765$

リュカ数 $L_n$ (OEIS: A000032)

[定義]

$L_1 = 2,$ $L_2 = 1,$ $L_{n+2} = L_n+L_{n+1}.$　

[公式]

$L_n = \left(\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right) ^n+\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right) ^n.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$2$	$1$	$3$	$4$	$7$	$11$	$18$	$29$	$47$	$76$
$10$	$123$	$199$	$322$	$521$	$843$	$1364$	$2207$	$3571$	$5778$	$9349$

トリボナッチ数 $T_n$ (OEIS: A000073)

[定義]

$T_1 = 0,$ $T_2 = T_3 = 1,$ $T_{n+3} = T_n+T_{n+1}+T_{n+2}.$　

[公式]

$T_n = \dfrac{\alpha ^n}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}+\dfrac{\beta ^n}{(\beta -\gamma )(\beta -\alpha )}+\dfrac{\gamma ^n}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}$　

($\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ は $x^3-x^2-x-1 = 0$ の解).

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$0$	$1$	$1$	$2$	$4$	$7$	$13$	$24$	$44$	$81$
$10$	$149$	$274$	$504$	$927$	$1705$	$3136$	$5768$	$10609$	$19513$	$35890$

パドヴァン数 $P_n$ (OEIS: A000931)

[定義]

$P_1 = P_2 = 1,$ $P_3 = 2,$ $P_{n+3} = P_n+P_{n+1}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$1$	$2$	$2$	$3$	$4$	$5$	$7$	$9$	$12$
$10$	$16$	$21$	$28$	$37$	$49$	$65$	$86$	$114$	$151$	$200$

ペラン数 $P_n$ (OEIS: A001608)

[定義]

$P_1 = 0,$ $P_2 = 2,$ $P_3 = 3,$ $P_{n+3} = P_n+P_{n+1}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$0$	$2$	$3$	$2$	$5$	$5$	$7$	$10$	$12$	$17$
$10$	$22$	$29$	$39$	$51$	$68$	$90$	$119$	$158$	$209$	$277$

シルヴェスター数列の第 $n$ 項 $s_n$ (OEIS: A000058)

[定義]

$s_1 = 2,$ $s_{n+1} = s_n{}^2-s_n+1.$　

[性質]

$s_{n+1} = s_1\cdots s_n+1.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$2$	$3$	$7$	$43$	$1807$
$5$	$3263443$	$1.0\cdots\times 10^{13}$	$1.1\cdots\times 10^{26}$	$1.2\cdots\times 10^{52}$	$1.6\cdots\times 10^{104}$

階乗 $n!$ (OEIS: A000142)

[意味]

互いに区別できる $n$ 個のものの順列の総数.

[初期値, 漸化式]

$0! = 1,$ $(n+1)! = (n+1)\cdot n!.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$1$	$2$	$6$	$24$	$120$
$5$	$720$	$5040$	$40320$	$362880$	$3628800$
$10$	$39916800$	$479001600$	$6227020800$	$87178291200$	$1307674368000$

モンモール数 $!n$ (OEIS: A000166)

[意味]

互いに区別できる $n$ 個のものの順列を各々がもとと異なる位置に並べ替える方法の総数.

[初期値, 漸化式]

$!1 = 0,$ $!2 = 1,$ $!(n+2) = (n+1)\{ !n+!(n+1)\}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$0$	$1$	$2$	$9$	$44$
$5$	$265$	$1854$	$14833$	$133496$	$1334961$
$10$	$1334961$	$14684570$	$176214841$	$2290792932$	$32071101049$

二項係数 $\dbinom{n}{r} = {}_n\mathrm C_r$ $(0 \leqq r \leqq n)$

[意味]

互いに区別できる $n$ 個のものから $r$ 個をとる組合せの総数.

[初期値, 漸化式]

$\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1,$ $\dbinom{n+1}{r+1} = \dbinom{n}{r}+\dbinom{n}{r+1}.$　

[公式]

$\dbinom{n}{r} = {}_n\mathrm C_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}.$　

$n\backslash r$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$6$	$1$	$6$	$15$	$20$	$15$	$6$	$1$
$7$	$1$	$7$	$21$	$35$	$35$	$21$	$7$	$1$
$8$	$1$	$8$	$28$	$56$	$70$	$56$	$28$	$8$	$1$
$9$	$1$	$9$	$36$	$84$	$126$	$126$	$84$	$36$	$9$	$1$

カタラン数 $C_n$ (OEIS: A000108)

[意味]

互いに区別のできない $2n$ 個のものを A, B に $1$ 個ずつ配っていき, 両者が合計 $n$ 個ずつもつようにするとき, どの時点でも A の個数が B の個数を下回らないような場合の数.

[初期値, 漸化式]

$C_0 = 1,$ $C_{n+1} = \displaystyle\sum_{k = 0}^nC_kC_{n-k}.$　

[公式]

$C_n = \dfrac{{}_{2n}\mathrm C_n}{n+1} = \dfrac{(2n)!}{(n+1)!n!}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$1$	$2$	$5$	$14$	$42$
$5$	$132$	$429$	$1430$	$4862$	$16796$
$10$	$58786$	$208012$	$742900$	$2674440$	$9694845$
$15$	$35357670$	$129644790$	$477638700$	$1767263190$	$6564120420$

モツキン数 $M_n$ (OEIS: A001006)

[意味]

円周上の相異なる $n$ 個の点を互いに交わらないような線分で結ぶ方法の総数.

[初期値, 漸化式]

$M_0 = M_1 = 1,$ $M_{n+2} = \displaystyle\frac{2n+5}{n+4}M_{n+1}+\frac{3n+3}{n+4}M_n.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$1$	$2$	$4$	$9$	$21$
$5$	$51$	$127$	$323$	$835$	$2188$
$10$	$5798$	$15511$	$41835$	$113634$	$310572$
$15$	$853467$	$2356779$	$6536382$	$18199284$	$50852019$

第 $1$ 種スターリング数 $\begin{bmatrix} n \\ r \end{bmatrix}$ $(0 \leqq r \leqq n)$

[意味]

互いに区別できる $n$ 個のものを $r$ 個の組に分けて各組で $1$ つの円順列を作る方法の総数.

[初期値, 漸化式]

$\begin{bmatrix} n \\ n \end{bmatrix} = 1$ $(n \geqq 0),$ $\begin{bmatrix} n \\ 0 \end{bmatrix} = 0$ $(n > 0),$ $\begin{bmatrix} n+1 \\ r+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ r \end{bmatrix}+n\begin{bmatrix} n \\ r+1 \end{bmatrix}.$　

$n\backslash r$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$0$	$1$
$1$	$0$	$1$
$2$	$0$	$1$	$1$
$3$	$0$	$2$	$3$	$1$
$4$	$0$	$6$	$11$	$6$	$1$
$5$	$0$	$24$	$50$	$35$	$10$	$1$
$6$	$0$	$120$	$274$	$225$	$85$	$15$	$1$
$7$	$0$	$720$	$1764$	$1624$	$735$	$175$	$21$	$1$
$8$	$0$	$5040$	$13068$	$13132$	$6769$	$1960$	$322$	$28$	$1$
$9$	$0$	$40320$	$109584$	$118124$	$67284$	$22449$	$4536$	$546$	$36$	$1$

第 $2$ 種スターリング数 $\begin{Bmatrix} n \\ r \end{Bmatrix} = {}_n\mathrm S_r$ $(0 \leqq r \leqq n)$

[意味]

互いに区別できる $n$ 個のものを $r$ 個の組に分ける方法の総数.

[初期値, 漸化式]

$\begin{Bmatrix} n \\ n \end{Bmatrix} \!=\! 1$ $(n \!\geqq\! 0),$ $\begin{Bmatrix} n \\ 0 \end{Bmatrix} \!=\! 0$ $(n \!>\! 0),$ $\begin{Bmatrix} n\!+\!1 \\ r\!+\!1 \end{Bmatrix} \!=\! \begin{Bmatrix} n \\ r \end{Bmatrix}\!+\!(r\!+\!1)\begin{Bmatrix} n \\ r\!+\!1 \end{Bmatrix}.$　

$n\backslash r$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$0$	$1$
$1$	$0$	$1$
$2$	$0$	$1$	$1$
$3$	$0$	$1$	$3$	$1$
$4$	$0$	$1$	$7$	$6$	$1$
$5$	$0$	$1$	$15$	$25$	$10$	$1$
$6$	$0$	$1$	$31$	$90$	$65$	$15$	$1$
$7$	$0$	$1$	$63$	$301$	$350$	$140$	$21$	$1$
$8$	$0$	$1$	$127$	$966$	$1701$	$1050$	$266$	$28$	$1$
$9$	$0$	$1$	$255$	$3025$	$7770$	$6951$	$2646$	$462$	$36$	$1$

ベル数 $B_n$ (OEIS: A000110)

[意味]

$n$ 個のものをグループ分けする方法の総数.

[初期値, 漸化式]

$B_0 = 1,$ $B_{n+1} = \displaystyle\sum_{k = 0}^n\dbinom{n}{k}B_k.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$
$0$	$1$	$2$	$5$	$15$	$52$
$5$	$203$	$877$	$4140$	$21147$	$115975$
$10$	$678570$	$4213597$	$27644437$	$190899322$	$1382958545$

平面が $n$ 本の直線で分割されてできる領域の個数の最大値 $a_n$ (OEIS: A000124)

[公式]

$a_n = \dfrac{n^2+n+2}{2} = 1+\dfrac{n(n+1)}{2}.$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$2$	$4$	$7$	$11$	$16$	$22$	$29$	$37$	$46$	$56$
$10$	$67$	$79$	$92$	$106$	$121$	$137$	$154$	$172$	$191$	$211$

空間が $n$ 枚の平面で分割されてできる領域の個数の最大値 $a_n$ (OEIS: A000125)

[公式]

$a_n = \dfrac{1}{6}(n+1)(n^2-n+6).$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$2$	$4$	$8$	$15$	$26$	$42$	$64$	$93$	$130$	$176$
$10$	$232$	$299$	$378$	$470$	$576$	$697$	$834$	$988$	$1160$	$1351$

モーザー数列の第 $n$ 項 $M_n$ (OEIS: A000127)

[定義]

円が周上の $n$ 個の点を結ぶ弦により分割されてできる領域の個数の最大値.

[公式]

$M_n = 1+\dfrac{1}{24}(n-1)n(n^2-5n+18) = \dfrac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-18n+24).$　

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$31$	$57$	$99$	$163$	$256$
$10$	$386$	$562$	$794$	$1093$	$1471$	$1941$	$2517$	$3214$	$4048$	$5036$

原始的なピタゴラスの $3$ つ組 $(a,b,c),$ 対応するピタゴラスの三角形の面積 $S,$ 周の長さ $L$

[定義]

$a^2+b^2 = c^2$ を満たす互いに素な正の整数の組.

[公式]

$a,$ $b$ の偶奇は異なる. $a$ を奇数, $b$ を偶数とすると, $a,$ $b,$ $c$ は偶奇の異なる互いに素な整数 $m,$ $n$ $(m > n > 0)$ を用いて $(a,b,c) = (m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ と表される.

[注意]

次の表で $a,$ $b,$ $c,$ $S,$ $L$ は, $c$ が小さい順, 次に $S$ が小さい順に並ぶ.

$m$	$2$	$3$	$4$	$4$	$5$	$6$	$5$	$7$	$6$	$8$
$n$	$1$	$2$	$1$	$3$	$2$	$1$	$4$	$2$	$5$	$1$
$a$	$3$	$5$	$15$	$7$	$21$	$35$	$9$	$45$	$11$	$63$
$b$	$4$	$12$	$8$	$24$	$20$	$12$	$40$	$28$	$60$	$16$
$c$	$5$	$13$	$17$	$25$	$29$	$37$	$41$	$53$	$61$	$65$
$S$	$6$	$30$	$60$	$84$	$210$	$210$	$180$	$630$	$330$	$504$
$L$	$12$	$30$	$40$	$56$	$70$	$84$	$90$	$126$	$132$	$144$

$m$	$7$	$8$	$7$	$9$	$8$	$9$	$10$	$10$	$8$	$11$
$n$	$4$	$3$	$6$	$2$	$5$	$4$	$1$	$3$	$7$	$2$
$a$	$33$	$55$	$13$	$77$	$39$	$65$	$99$	$91$	$15$	$117$
$b$	$56$	$48$	$84$	$36$	$80$	$72$	$20$	$60$	$112$	$44$
$c$	$65$	$73$	$85$	$85$	$89$	$97$	$101$	$109$	$113$	$125$
$S$	$924$	$1320$	$546$	$1386$	$1560$	$2340$	$990$	$2730$	$840$	$2574$
$L$	$154$	$176$	$182$	$198$	$208$	$234$	$220$	$260$	$240$	$286$

$m$	$11$	$9$	$12$	$10$	$11$	$12$	$13$	$10$	$11$	$13$
$n$	$4$	$8$	$1$	$7$	$6$	$5$	$2$	$9$	$8$	$4$
$a$	$105$	$17$	$143$	$51$	$85$	$119$	$165$	$19$	$57$	$153$
$b$	$88$	$144$	$24$	$140$	$132$	$120$	$52$	$180$	$176$	$104$
$c$	$137$	$145$	$145$	$149$	$157$	$169$	$173$	$181$	$185$	$185$
$S$	$4620$	$1224$	$1716$	$3570$	$5610$	$7140$	$4290$	$1710$	$5016$	$7956$
$L$	$330$	$306$	$312$	$340$	$374$	$408$	$390$	$380$	$418$	$442$

$m$	$12$	$14$	$14$	$13$	$11$	$14$	$15$	$13$	$15$	$16$
$n$	$7$	$1$	$3$	$6$	$10$	$5$	$2$	$8$	$4$	$1$
$a$	$95$	$195$	$187$	$133$	$21$	$171$	$221$	$105$	$209$	$255$
$b$	$168$	$28$	$84$	$156$	$220$	$140$	$60$	$208$	$120$	$32$
$c$	$193$	$197$	$205$	$205$	$221$	$221$	$229$	$233$	$241$	$257$
$S$	$7980$	$2730$	$7854$	$10374$	$2310$	$11970$	$6630$	$10920$	$12540$	$4080$
$L$	$456$	$420$	$476$	$494$	$462$	$532$	$510$	$546$	$570$	$544$

$m$	$16$	$12$	$13$	$14$	$16$	$15$	$17$	$16$	$17$	$13$
$n$	$3$	$11$	$10$	$9$	$5$	$8$	$2$	$7$	$4$	$12$
$a$	$247$	$23$	$69$	$115$	$231$	$161$	$285$	$207$	$273$	$25$
$b$	$96$	$264$	$260$	$252$	$160$	$240$	$68$	$224$	$136$	$312$
$c$	$265$	$265$	$269$	$277$	$281$	$289$	$293$	$305$	$305$	$313$
$S$	$11856$	$3036$	$8970$	$14490$	$18480$	$19320$	$9690$	$23184$	$18564$	$3900$
$L$	$608$	$552$	$598$	$644$	$672$	$690$	$646$	$736$	$714$	$650$

$m$	$14$	$17$	$18$	$16$	$18$	$17$	$19$	$14$	$18$	$19$
$n$	$11$	$6$	$1$	$9$	$5$	$8$	$2$	$13$	$7$	$4$
$a$	$75$	$253$	$323$	$175$	$299$	$225$	$357$	$27$	$275$	$345$
$b$	$308$	$204$	$36$	$288$	$180$	$272$	$76$	$364$	$252$	$152$
$c$	$317$	$325$	$325$	$337$	$349$	$353$	$365$	$365$	$373$	$377$
$S$	$11550$	$25806$	$5814$	$25200$	$26910$	$30600$	$13566$	$4914$	$34650$	$26220$
$L$	$700$	$782$	$684$	$800$	$828$	$850$	$798$	$756$	$900$	$874$

原始的なヘロンの三角形の $3$ 辺の長さ $a,$ $b,$ $c,$ 面積 $S,$ 周の長さ $L$

[定義]

ヘロンの三角形: $3$ 辺の長さ, 面積が整数である三角形.

そのうち, $3$ 辺の長さが互いに素なものは原始的であるという.

[公式]

任意のヘロンの三角形の $3$ 辺の長さ $(a,b,c)$ $(a \geqq b \geqq c)$ の比は, $mn > h^2 \geqq \dfrac{m^2n}{2m+n},$ $m \geqq n$ なる互いに素な正の整数 $m,$ $n,$ $h$ を用いて $a:b:c = n(m^2+h^2):m(n^2+h^2):(m+n)(mn-h^2)$ で表される.

[注意]

次の表で $S,$ $L,$ $a,$ $b,$ $c$ は, $S$ が小さい順, $L$ が小さい順, $a$ が小さい順に並ぶ. $n(m^2+h^2),$ $m(n^2+h^2),$ $(m+n)(mn-h^2)$ の最大公約数 $g$ の値を付記した.

$m$	$2$	$6$	$12$	$6$	$3$	$8$	$6$	$6$	$3$	$5$
$n$	$1$	$4$	$3$	$2$	$2$	$1$	$3$	$1$	$3$	$3$
$h$	$1$	$3$	$4$	$3$	$2$	$2$	$4$	$2$	$2$	$3$
$g$	$1$	$30$	$60$	$6$	$2$	$4$	$6$	$2$	$3$	$6$
$S$	$6$	$12$	$12$	$24$	$30$	$36$	$36$	$42$	$60$	$60$
$L$	$12$	$16$	$18$	$32$	$30$	$36$	$54$	$42$	$36$	$40$
$a$	$5$	$6$	$8$	$15$	$13$	$17$	$26$	$20$	$13$	$17$
$b$	$4$	$5$	$5$	$13$	$12$	$10$	$25$	$15$	$13$	$15$
$c$	$3$	$5$	$5$	$4$	$5$	$9$	$3$	$7$	$10$	$8$

$m$	$60$	$5$	$9$	$12$	$7$	$14$	$4$	$21$	$15$	$9$
$n$	$5$	$1$	$2$	$8$	$6$	$6$	$3$	$3$	$3$	$3$
$h$	$12$	$2$	$3$	$9$	$4$	$7$	$3$	$7$	$5$	$5$
$g$	$780$	$1$	$9$	$60$	$26$	$70$	$3$	$42$	$30$	$6$
$S$	$60$	$60$	$66$	$72$	$84$	$84$	$84$	$84$	$90$	$90$
$L$	$50$	$60$	$44$	$64$	$42$	$48$	$56$	$72$	$54$	$108$
$a$	$24$	$29$	$20$	$30$	$15$	$21$	$25$	$35$	$25$	$53$
$b$	$13$	$25$	$13$	$29$	$14$	$17$	$24$	$29$	$17$	$51$
$c$	$13$	$6$	$11$	$5$	$13$	$10$	$7$	$8$	$12$	$4$

$m$	$18$	$5$	$60$	$15$	$21$	$14$	$9$	$8$	$13$	$12$
$n$	$1$	$5$	$8$	$1$	$18$	$1$	$6$	$3$	$2$	$1$
$h$	$3$	$3$	$15$	$3$	$14$	$3$	$7$	$4$	$4$	$3$
$g$	$9$	$10$	$1020$	$6$	$546$	$5$	$15$	$8$	$10$	$3$
$S$	$114$	$120$	$120$	$120$	$126$	$126$	$126$	$132$	$156$	$156$
$L$	$76$	$50$	$64$	$80$	$54$	$84$	$108$	$66$	$78$	$104$
$a$	$37$	$17$	$30$	$39$	$21$	$41$	$52$	$30$	$37$	$51$
$b$	$20$	$17$	$17$	$25$	$20$	$28$	$51$	$25$	$26$	$40$
$c$	$19$	$16$	$17$	$16$	$13$	$15$	$5$	$11$	$15$	$13$

$m$	$4$	$7$	$168$	$20$	$5$	$11$	$9$	$10$	$7$	$7$
$n$	$4$	$3$	$7$	$6$	$4$	$1$	$8$	$7$	$3$	$5$
$h$	$3$	$4$	$24$	$9$	$4$	$3$	$6$	$6$	$3$	$5$
$g$	$4$	$5$	$4200$	$78$	$4$	$2$	$36$	$34$	$6$	$10$
$S$	$168$	$168$	$168$	$180$	$180$	$198$	$204$	$210$	$210$	$210$
$L$	$64$	$84$	$98$	$80$	$90$	$132$	$68$	$70$	$70$	$84$
$a$	$25$	$39$	$48$	$37$	$41$	$65$	$26$	$28$	$29$	$37$
$b$	$25$	$35$	$25$	$30$	$40$	$55$	$25$	$25$	$21$	$35$
$c$	$14$	$10$	$25$	$13$	$9$	$12$	$17$	$17$	$20$	$12$

$m$	$14$	$5$	$10$	$24$	$39$	$24$	$8$	$63$	$14$	$22$
$n$	$3$	$2$	$5$	$3$	$6$	$15$	$7$	$28$	$4$	$8$
$h$	$5$	$3$	$7$	$8$	$13$	$16$	$6$	$36$	$7$	$11$
$g$	$17$	$1$	$5$	$24$	$195$	$312$	$20$	$3276$	$14$	$110$
$S$	$210$	$210$	$210$	$216$	$234$	$240$	$252$	$252$	$252$	$264$
$L$	$84$	$140$	$300$	$162$	$108$	$90$	$84$	$98$	$144$	$96$
$a$	$39$	$68$	$149$	$80$	$52$	$40$	$35$	$45$	$70$	$44$
$b$	$28$	$65$	$148$	$73$	$41$	$37$	$34$	$40$	$65$	$37$
$c$	$17$	$7$	$3$	$9$	$15$	$13$	$15$	$13$	$9$	$15$

$m$	$32$	$25$	$144$	$24$	$15$	$51$	$55$	$22$	$6$	$10$
$n$	$1$	$2$	$9$	$1$	$10$	$9$	$30$	$3$	$5$	$1$
$h$	$4$	$5$	$32$	$4$	$12$	$17$	$33$	$6$	$5$	$3$
$g$	$16$	$25$	$2448$	$8$	$30$	$510$	$2805$	$30$	$5$	$1$
$S$	$264$	$270$	$288$	$300$	$300$	$306$	$330$	$330$	$330$	$330$
$L$	$132$	$108$	$162$	$150$	$250$	$108$	$100$	$110$	$132$	$220$
$a$	$65$	$52$	$80$	$74$	$123$	$51$	$44$	$52$	$61$	$109$
$b$	$34$	$29$	$65$	$51$	$122$	$37$	$39$	$33$	$60$	$100$
$c$	$33$	$27$	$17$	$25$	$5$	$20$	$17$	$25$	$11$	$11$

原始的なピタゴラスの $4$ つ組 $(a,b,c,d),$ 対応する直角三角錐の体積 $V$

[定義]

$a^2+b^2+c^2 = d^2$ を満たす互いに素な正の整数の組.

[公式]

$a,$ $b,$ $c$ のうち $2$ つは偶数, $1$ つは奇数である. $a$ を奇数, $b,$ $c$ を偶数とすると, $a,$ $b,$ $c,$ $d$ は非負整数 $k,$ $l,$ $m,$ $n$ ($k,$ $l,$ $m,$ $n$ が満たすべき条件については省略) を用いて $(a,b,c,d) = (k^2+l^2-m^2-n^2,2(km-ln),2(kn+lm),k^2+l^2+m^2+n^2)$ と表される.

[注意]

次の表で $a,$ $b,$ $c,$ $d$ は, $d$ が小さい順, 次に $V$ が小さい順に並ぶ.

$k$	$1$	$2$	$2$	$2$	$3$	$3$	$2$	$3$	$3$	$3$
$l$	$1$	$1$	$1$	$2$	$1$	$0$	$2$	$1$	$2$	$0$
$m$	$1$	$1$	$2$	$1$	$1$	$1$	$2$	$1$	$1$	$2$
$n$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$2$	$1$	$2$
$a$	$1$	$3$	$1$	$7$	$9$	$7$	$3$	$5$	$11$	$1$
$b$	$2$	$2$	$8$	$4$	$6$	$6$	$4$	$2$	$2$	$12$
$c$	$2$	$6$	$4$	$4$	$2$	$6$	$12$	$14$	$10$	$12$
$d$	$3$	$7$	$9$	$9$	$11$	$11$	$13$	$15$	$15$	$17$
$V$	$4/3$	$12$	$32/3$	$112/3$	$36$	$84$	$48$	$140/3$	$220/3$	$48$

$k$	$3$	$3$	$3$	$4$	$3$	$4$	$4$	$4$	$2$	$3$
$l$	$2$	$1$	$3$	$1$	$2$	$2$	$1$	$0$	$3$	$2$
$m$	$2$	$3$	$1$	$1$	$2$	$1$	$2$	$2$	$3$	$3$
$n$	$0$	$0$	$0$	$1$	$2$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$a$	$9$	$1$	$17$	$15$	$5$	$19$	$13$	$11$	$3$	$3$
$b$	$12$	$18$	$6$	$6$	$4$	$8$	$16$	$16$	$6$	$14$
$c$	$8$	$6$	$6$	$10$	$20$	$4$	$4$	$8$	$22$	$18$
$d$	$17$	$19$	$19$	$19$	$21$	$21$	$21$	$21$	$23$	$23$
$V$	$288$	$36$	$204$	$300$	$400/3$	$608/3$	$832/3$	$1408/3$	$132$	$252$

実 $2$ 次体 $\mathbb Q(\sqrt d)$ の基本単数 $a+b\sqrt d$ ($a,$ $b$: 正の整数または半整数),
$|x^2-dy^2| = 1$ の最小の正の整数解 $(x,y) = (x_1,y_1),$
$\eta = a+b\sqrt d,$ $\varepsilon = x_1+y_1\sqrt d$ のノルム $N(\eta ) = N(\varepsilon )$

[性質]

$|x^2-dy^2| = 1$ の任意の正の整数解 $(x,y)$ はある正の整数 $n$ に対して $x+y\sqrt d = \varepsilon ^n$ を満たす.

$\varepsilon \neq \eta$ のとき $\varepsilon = \eta ^3$ ($d \equiv 2,$ $3$ $(\text{mod}\ 4)$ のとき $\varepsilon = \eta$).

$d$	$2$	$3$	$5$	$6$	$7$
$a$	$1$	$2$	$1/2$	$5$	$8$
$b$	$1$	$1$	$1/2$	$2$	$3$
$x_1$	$1$	$2$	$2$	$5$	$8$
$y_1$	$1$	$1$	$1$	$2$	$3$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$1$

$d$	$10$	$11$	$13$	$14$	$15$
$a$	$3$	$10$	$3/2$	$15$	$4$
$b$	$1$	$3$	$1/2$	$4$	$1$
$x_1$	$3$	$10$	$18$	$15$	$4$
$y_1$	$1$	$3$	$5$	$4$	$1$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$1$

$d$	$17$	$19$	$21$	$22$	$23$
$a$	$4$	$170$	$5/2$	$197$	$24$
$b$	$1$	$39$	$1/2$	$42$	$5$
$x_1$	$4$	$170$	$55$	$197$	$24$
$y_1$	$1$	$39$	$12$	$42$	$5$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$-1$	$1$	$1$	$1$	$1$

$d$	$26$	$29$	$30$	$31$	$33$
$a$	$5$	$5/2$	$11$	$1520$	$23$
$b$	$1$	$1/2$	$2$	$273$	$4$
$x_1$	$5$	$70$	$11$	$1520$	$23$
$y_1$	$1$	$13$	$2$	$273$	$4$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$-1$	$-1$	$1$	$1$	$1$

$d$	$34$	$35$	$37$	$38$	$39$
$a$	$35$	$6$	$6$	$37$	$25$
$b$	$6$	$1$	$1$	$6$	$4$
$x_1$	$35$	$6$	$6$	$37$	$25$
$y_1$	$6$	$1$	$1$	$6$	$4$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$1$

$d$	$41$	$42$	$43$	$46$	$47$
$a$	$32$	$13$	$3482$	$24335$	$48$
$b$	$5$	$2$	$531$	$3588$	$7$
$x_1$	$32$	$13$	$3482$	$24335$	$48$
$y_1$	$5$	$2$	$531$	$3588$	$7$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$-1$	$1$	$1$	$1$	$1$

$d$	$51$	$53$	$55$	$57$	$58$
$a$	$50$	$7/2$	$89$	$151$	$99$
$b$	$7$	$1/2$	$12$	$20$	$13$
$x_1$	$50$	$182$	$89$	$151$	$99$
$y_1$	$7$	$25$	$12$	$20$	$13$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$1$	$-1$	$1$	$1$	$-1$

$d$	$59$	$61$	$62$	$65$	$66$
$a$	$530$	$39/2$	$63$	$8$	$65$
$b$	$69$	$5/2$	$8$	$1$	$8$
$x_1$	$530$	$29718$	$63$	$8$	$65$
$y_1$	$69$	$3805$	$8$	$1$	$8$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$

$d$	$67$	$69$	$70$	$71$	$73$
$a$	$48842$	$25/2$	$251$	$3480$	$1068$
$b$	$5967$	$3/2$	$30$	$413$	$125$
$x_1$	$48842$	$7775$	$251$	$3480$	$1068$
$y_1$	$5967$	$936$	$30$	$413$	$125$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$1$	$1$	$1$	$1$	$-1$

$d$	$74$	$77$	$78$	$79$	$82$
$a$	$43$	$9/2$	$53$	$80$	$9$
$b$	$5$	$1/2$	$6$	$9$	$1$
$x_1$	$43$	$351$	$53$	$80$	$9$
$y_1$	$5$	$40$	$6$	$9$	$1$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$-1$	$1$	$1$	$1$	$-1$

$d$	$83$	$85$	$86$	$87$	$89$
$a$	$82$	$9/2$	$10405$	$28$	$500$
$b$	$9$	$1/2$	$1122$	$3$	$53$
$x_1$	$82$	$378$	$10405$	$28$	$500$
$y_1$	$9$	$41$	$1122$	$3$	$53$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$1$	$-1$	$1$	$1$	$-1$

$d$	$91$	$93$	$94$	$95$	$97$
$a$	$1574$	$29/2$	$2143295$	$39$	$5604$
$b$	$165$	$3/2$	$221064$	$4$	$569$
$x_1$	$1574$	$12151$	$2143295$	$39$	$5604$
$y_1$	$165$	$1260$	$221064$	$4$	$569$
$N(\eta ) \!=\! N(\varepsilon )$	$1$	$1$	$1$	$1$	$-1$

$x^2-dy^2 = -1$ が有理数解をもつような平方因数をもたない整数 $d\,(> 1)$ (OEIS: A020893)

[性質]

$d$ は, $4$ を法として $3$ と合同な素因数をもたない, $2$ 個の平方数の和として表される.

[注意]

この表において, $d = 34$ の場合を除いて, $x^2-dy^2 = -1$ は整数解をもつ.

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$2$	$5$	$10$	$13$	$17$	$26$	$29$	$34$	$37$	$41$
$10$	$53$	$58$	$61$	$65$	$73$	$74$	$82$	$85$	$89$	$97$

$|x^2-2y^2| = 1$ の $n$ 番目の正の整数解 $(x,y) = (x_n,y_n)$

[意味]

$x_n$: $\sqrt 2$ の近似分数の分子, 半ペル=リュカ数 (OEIS: A001333).

[初期値, 漸化式]

$x_1 = 1,$ $x_2 = 3,$ $x_{n+2} = x_n+2x_{n+1}.$　

[公式]

$x_n = \dfrac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n}{2}.$　

[意味]

$y_n$: $\sqrt 2$ の近似分数の分母, ペル数 (OEIS: A000129).

[初期値, 漸化式]

$y_1 = 1,$ $y_2 = 2,$ $y_{n+2} = y_n+2y_{n+1}.$　

[公式]

$y_n = \dfrac{(1+\sqrt 2)^n-(1-\sqrt 2)^n}{2\sqrt 2}.$　

[性質]

$x_n{}^2-2y_n{}^2 = (-1)^n.$　

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$x_n$	$1$	$3$	$7$	$17$	$41$	$99$	$239$	$577$	$1393$	$3363$
$y_n$	$1$	$2$	$5$	$12$	$29$	$70$	$169$	$408$	$985$	$2378$

$x^2-3y^2 = 1$ の $n$ 番目の正の整数解 $(x,y) = (x_n,y_n)$

[意味]

$x_n$: $\sqrt 3$ の近似分数の分子 (OEIS: A001075).

[初期値, 漸化式]

$x_1 = 2,$ $x_2 = 7,$ $x_{n+2} = 4x_{n+1}-x_n.$　

[公式]

$x_n = \dfrac{(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n}{2}.$　

[意味]

$y_n$: $\sqrt 3$ の近似分数の分母 (OEIS: A001353).

[初期値, 漸化式]

$y_1 = 1,$ $y_2 = 4,$ $y_{n+2} = 4y_{n+1}-y_n.$　

[公式]

$y_n = \dfrac{(2+\sqrt 3)^n-(2-\sqrt 3)^n}{2\sqrt 3}.$　

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$x_n$	$2$	$7$	$26$	$97$	$362$	$1351$	$5042$	$18817$	$70226$	$262087$
$y_n$	$1$	$4$	$15$	$56$	$209$	$780$	$2911$	$10864$	$40545$	$151316$

$|x^2-5y^2| = 1$ の $n$ 番目の正の整数解 $(x,y) = (x_n,y_n)$

[意味]

$x_n$: $\sqrt 5$ の近似分数の分子 (OEIS: A001077).

[初期値, 漸化式]

$x_1 = 2,$ $x_2 = 9,$ $x_{n+2} = x_n+4x_{n+1}.$　

[公式]

$x_n = \dfrac{(2+\sqrt 5)^n+(2-\sqrt 5)^n}{2}.$　

[意味]

$y_n$: $\sqrt 5$ の近似分数の分母 (OEIS: A001076).

[初期値, 漸化式]

$y_1 = 1,$ $y_2 = 4,$ $y_{n+2} = y_n+4y_{n+1}.$　

[公式]

$y_n = \dfrac{(2+\sqrt 5)^n-(2-\sqrt 5)^n}{2\sqrt 5}.$　

[性質]

$x_n{}^2-5y_n{}^2 = (-1)^n.$　

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$x_n$	$2$	$9$	$38$	$161$	$682$	$2889$	$12238$	$51841$	$219602$	$930249$
$y_n$	$1$	$4$	$17$	$72$	$305$	$1292$	$5473$	$23184$	$98209$	$416020$

$n$ 番目の平方因数をもたない合同数 $q_n$ (OEIS: A006991)

[定義]

合同数: 辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積となるような正の整数,

つまり $a^2+b^2 = c^2,$ $\dfrac{ab}{2} = q$ が有理数解 $(a,b,c)$ をもつような正の整数 $q.$

$n$	$+1$	$+2$	$+3$	$+4$	$+5$	$+6$	$+7$	$+8$	$+9$	$+10$
$0$	$5$	$6$	$7$	$13$	$14$	$15$	$21$	$22$	$23$	$29$
$10$	$30$	$31$	$34$	$37$	$38$	$39$	$41$	$46$	$47$	$53$
$20$	$55$	$61$	$62$	$65$	$69$	$70$	$71$	$77$	$78$	$79$
$30$	$85$	$86$	$87$	$93$	$94$	$95$	$101$	$102$	$103$	$109$
$40$	$110$	$111$	$118$	$119$	$127$	$133$	$134$	$137$	$138$	$141$
$50$	$142$	$143$	$145$	$149$	$151$	$154$	$157$	$158$	$159$	$161$

$n$ 番目のマルコフ数 $z_n$ (OEIS: A002559),
マルコフの $3$ つ組 $(x_n,y_n,z_n)$ $(x_n \leqq y_n \leqq z_n)$

[定義]

マルコフ数: $x^2+y^2+z^2 = 3xyz$ の正の整数解に現れる整数.
マルコフの $3$ つ組: $x^2+y^2+z^2 = 3xyz,$ $0 < x \leqq y \leqq z$ の整数解 $(x,y,z).$

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$x_n$	$1$	$1$	$1$	$1$	$2$	$1$	$1$	$2$	$5$	$1$
$y_n$	$1$	$1$	$2$	$5$	$5$	$13$	$34$	$29$	$13$	$89$
$z_n$	$1$	$2$	$5$	$13$	$29$	$34$	$89$	$169$	$194$	$233$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$x_n$	$5$	$1$	$2$	$13$	$1$	$5$	$1$	$2$	$5$	$13$
$y_n$	$29$	$233$	$169$	$34$	$610$	$194$	$1597$	$985$	$433$	$194$
$z_n$	$433$	$610$	$985$	$1325$	$1597$	$2897$	$4181$	$5741$	$6466$	$7561$

$n$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$
$x_n$	$34$	$1$	$29$	$1$	$2$	$29$	$5$	$13$	$89$	$1$
$y_n$	$89$	$4181$	$169$	$10946$	$5741$	$433$	$2897$	$1325$	$233$	$28657$
$z_n$	$9077$	$10946$	$14701$	$28657$	$33461$	$37666$	$43261$	$51641$	$62210$	$75025$

$n$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$	$40$
$x_n$	$5$	$34$	$2$	$1$	$13$	$233$	$169$	$1$	$5$	$34$
$y_n$	$6466$	$1325$	$33461$	$75025$	$7561$	$610$	$985$	$196418$	$43261$	$9077$
$z_n$	$96557$	$135137$	$195025$	$196418$	$294685$	$426389$	$499393$	$514229$	$646018$	$925765$

　正則連分数 $a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{\ddots +a_n+\dfrac{1}{\ddots}}}$ を $[a_0;a_1,\cdots,a_n,\cdots ]$ で表す. $\{ a_n\}$ において第 $m+1$ 項以降 $a_{m+1},$ $\cdots,$ $a_{m+l}$ が繰り返されるとき, これを $[a_0;a_1,\cdots,a_m,\dot{a_{m+1}},\cdots,\dot{a_{m+l}}]$ で表す.

$2$ の平方根
$\begin{aligned} \sqrt 2 &= [1;\dot 2] \\ &= 1.41421\ 35623\ 73095\ 04880\ 16887\ 24209\ 69807\ 85696\ 71875\ 37694 \\ &\quad\ \ \;\,\,80731\ 76679\ 73799\ 07324\ 78462\ 10703\ 88503\ 87534\ 32764\ 15727\ \cdots \end{aligned}$
$3$ の平方根
$\begin{aligned} \sqrt 3 &= [1;\dot 1,\dot 2] \\ &= 1.73205\ 08075\ 68877\ 29352\ 74463\ 41505\ 87236\ 69428\ 05253\ 81038 \\ &\quad\ \ \;\,\,06280\ 55806\ 97945\ 19330\ 16908\ 80003\ 70811\ 46186\ 75724\ 85756\ \cdots \end{aligned}$
$5$ の平方根
$\begin{aligned} \sqrt 5 &= [2;\dot 4] \\ &= 2.23606\ 79774\ 99789\ 69640\ 91736\ 68731\ 27623\ 54406\ 18359\ 61152 \\ &\quad\ \ \;\,\,57242\ 70897\ 24541\ 05209\ 25637\ 80489\ 94144\ 14408\ 37878\ 22749\ \cdots \end{aligned}$
$2$ の立方根
$\begin{aligned} \sqrt[3]{2} &= [1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,\cdots ] \\ &= 1.25992\ 10498\ 94873\ 16476\ 72106\ 07278\ 22835\ 05702\ 51464\ 70150 \\ &\quad\ \ \;\,\,79800\ 81975\ 11215\ 52996\ 76513\ 95948\ 37293\ 96562\ 43625\ 50941\ \cdots \end{aligned}$
$3$ の立方根
$\begin{aligned} \sqrt[3]{3} &= [1;2,3,1,4,1,5,1,1,6,2,5,8,3,3,4,2,6,4,4,1,\cdots ] \\ &= 1.44224\ 95703\ 07408\ 38232\ 16383\ 10780\ 10958\ 83918\ 69253\ 49935 \\ &\quad\ \ \;\,\,05775\ 46416\ 19454\ 16875\ 96829\ 99733\ 98547\ 55479\ 70564\ 52566\ \cdots \end{aligned}$
$5$ の立方根
$\begin{aligned} \sqrt[3]{5} &= [1;1,2,2,4,3,3,1,5,1,1,4,10,17,1,14,1,1,3052,1,1,\cdots ] \\ &= 1.70997\ 59466\ 76696\ 98935\ 31088\ 72543\ 86010\ 98680\ 55110\ 54305 \\ &\quad\ \ \;\,\,49243\ 82861\ 70744\ 42959\ 20504\ 17321\ 62571\ 87010\ 02018\ 90022\ \cdots \end{aligned}$

円周率 $\pi$
$\begin{aligned} \pi &= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,\cdots ] \\ &= 3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 50288\ 41971\ 69399\ 37510 \\ &\quad\ \ \;\,\,58209\ 74944\ 59230\ 78164\ 06286\ 20899\ 86280\ 34825\ 34211\ 70679\ \cdots \end{aligned}$
レムニスケート周率 $\varpi$
$\begin{aligned} \varpi &= [2;1,1,1,1,1,4,1,2,5,1,1,1,14,9,2,6,2,9,4,1,\cdots ] \\ &= 2.62205\ 75542\ 92119\ 81046\ 48395\ 89891\ 11941\ 36827\ 54951\ 43162 \\ &\quad\ \ \;\,\,31628\ 16821\ 70380\ 07905\ 87070\ 41425\ 02302\ 95532\ 96142\ 90934\ \cdots \end{aligned}$
ネイピア数 (自然対数の底) $e$
$\begin{aligned} e &= [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,\cdots ] \\ &= 2.71828\ 18284\ 59045\ 23536\ 02874\ 71352\ 66249\ 77572\ 47093\ 69995 \\ &\quad\ \ \;\,\,95749\ 66967\ 62772\ 40766\ 30353\ 54759\ 45713\ 82178\ 52516\ 64274\ \cdots \end{aligned}$
オイラーの定数 $\gamma$
$\begin{aligned} \gamma &= [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,1,\cdots ] \\ &= 0.57721\ 56649\ 01532\ 86060\ 65120\ 90082\ 40243\ 10421\ 59335\ 93992 \\ &\quad\ \ \;\,\,35988\ 05767\ 23488\ 48677\ 26777\ 66467\ 09369\ 47063\ 29174\ 67495\ \cdots \end{aligned}$
黄金数 $\phi = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$
$\begin{aligned} \phi &= [1;\dot 1] \\ &= 1.61803\ 39887\ 49894\ 84820\ 45868\ 34365\ 63811\ 77203\ 09179\ 80576 \\ &\quad\ \ \;\,\,28621\ 35448\ 62270\ 52604\ 62818\ 90244\ 97072\ 07204\ 18939\ 11374\ \cdots \end{aligned}$
プラスチック数 $\rho = \sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{23}{3}}}$
$\begin{aligned} \rho &= [1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,2,5,1,2,8,2,1,1,\cdots ] \\ &= 1.32471\ 79572\ 44746\ 02596\ 09088\ 54478\ 09734\ 07344\ 04056\ 90173 \\ &\quad\ \ \;\,\,33645\ 34015\ 05030\ 28278\ 51245\ 54759\ 40546\ 99347\ 98178\ 72803\ \cdots \end{aligned}$
カラビの三角形定数 $\delta = \dfrac{1}{3}\left( 1+\sqrt[3]{\dfrac{-23+3\sqrt{-237}}{4}}+\sqrt[3]{\dfrac{-23-3\sqrt{-237}}{4}}\right)$
$\begin{aligned} \delta &= [1,1,1,4,2,1,2,1,5,2,1,3,1,1,390,\cdots ] \\ &= 1.55138\ 75245\ 48320\ 39226\ 19525\ 10264\ 62381\ 51635\ 91703\ 80388 \\ &\quad\ \ \;\,\,71995\ 28007\ 12011\ 79267\ 42554\ 25695\ 72957\ 60453\ 61202\ 54362\ \cdots \end{aligned}$
$2$ 個の整数が互いに素である確率 $\dfrac{1}{\zeta (2)} = \dfrac{6}{\pi ^2}$
$\begin{aligned} \frac{1}{\zeta (2)} &= 0.60792\ 71018\ 54026\ 62866\ 32767\ 79258\ 36583\ 34261\ 52648\ 03347 \\ &\quad\ \ \;\,\,92930\ 73654\ 19136\ 50387\ 25773\ 41264\ 71472\ 55643\ 55373\ 10256\ \cdots \end{aligned}$
平面の円による最密充填密度 $\dfrac{\pi}{2\sqrt 3}$
$\begin{aligned} \dfrac{\pi}{2\sqrt 3} &= 0.90689\ 96821\ 17108\ 92529\ 70391\ 28821\ 07786\ 61420\ 33124\ 04637 \\ &\quad\ \ \;\,\,02877\ 84942\ 46769\ 40615\ 90563\ 17694\ 18420\ 62494\ 10603\ 00844\ \cdots \end{aligned}$
空間の球による最密充填密度 $\dfrac{\pi}{3\sqrt 2}$
$\begin{aligned} \dfrac{\pi}{3\sqrt 2} &= 0.74048\ 04896\ 93061\ 04116\ 93134\ 98343\ 44894\ 97691\ 03614\ 89594 \\ &\quad\ \ \;\,\,83705\ 14232\ 60115\ 94057\ 98849\ 91231\ 84292\ 21155\ 79412\ 75395\ \cdots \end{aligned}$

第 $1$ 種チェビシェフ多項式 $T_n(x)$

[初期値, 漸化式]

$T_0(x) = 1,$ $T_1(x) = x,$ $T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x)-T_n(x).$　

[性質]

$\cos n\theta = T_n(\cos\theta ).$　

• $T_0(x) = 1$
• $T_1(x) = x$
• $T_2(x) = 2x^2-1$
• $T_3(x) = 4x^3-3x$
• $T_4(x) = 8x^4-8x^2+1$
• $T_5(x) = 16x^5-20x^3+5x$
• $T_6(x) = 32x^6-48x^4+18x^2-1$
• $T_7(x) = 64x^7-112x^5+56x^3-7x$
• $T_8(x) = 128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1$
• $T_9(x) = 256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x$
• $T_{10}(x) = 512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1$

第 $2$ 種チェビシェフ多項式 $U_n(x)$

[初期値, 漸化式]

$U_0(x) = 1,$ $U_1(x) = 2x,$ $U_{n+2}(x) = 2xU_{n+1}(x)-U_n(x).$　

[性質]

$\sin (n+1)\theta = \sin\theta\cdot U_n(\cos\theta ).$　

• $U_0(x) = 1$
• $U_1(x) = 2x$
• $U_2(x) = 4x^2-1$
• $U_3(x) = 8x^3-4x$
• $U_4(x) = 16x^4-12x^2+1$
• $U_5(x) = 32x^5-32x^3+6x$
• $U_6(x) = 64x^6-80x^4+24x^2-1$
• $U_7(x) = 128x^7-192x^5+80x^3-8x$
• $U_8(x) = 256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1$
• $U_9(x) = 512x^9-1024x^7+672x^5-160x^3+10x$
• $U_{10}(x) = 1024x^{10}-2304x^8+1792x^6-560x^4+60x^2-1$

ルジャンドル多項式 $P_n(x)$

[初期値, 漸化式]

$P_0(x) = 1,$ $P_1(x) = x,$　

$(n+2)P_{n+2}(x) = (2n+3)xP_{n+1}(x)-(n+1)P_n(x).$　

[性質]

ルジャンドルの微分方程式を満たす.

• $P_0(x) = 1$
• $P_1(x) = x$
• $2P_2(x) = 3x^2-1$
• $2P_3(x) = 5x^3-3x$
• $8P_4(x) = 35x^4-30x^2+3$
• $8P_5(x) = 63x^5-70x^3+15x$
• $16P_6(x) = 231x^6-315x^4+105x^2-5$
• $16P_7(x) = 429x^7-693x^5+315x^3-35x$
• $128P_8(x) = 6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35$
• $128P_9(x) = 12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x$
• $256P_{10}(x) = 46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63$

ベルヌーイ多項式 $B_n(x)$

[性質]

$\displaystyle\int_x^{x+1}B_n(t)dt = x^n.$　

• $B_0(x) = 1$
• $B_1(x) = x-\dfrac{1}{2}$
• $B_2(x) = x^2-x+\dfrac{1}{6}$
• $B_3(x) = x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x$
• $B_4(x) = x^4-2x^3+x^2-\dfrac{1}{30}$
• $B_5(x) = x^5-\dfrac{5}{2}x^4+\dfrac{5}{3}x^3-\dfrac{1}{6}x$
• $B_6(x) = x^6-3x^5+\dfrac{5}{2}x^4-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{42}$
• $B_7(x) = x^7-\dfrac{7}{2}x^6+\dfrac{7}{2}x^5-\dfrac{7}{6}x^3+\dfrac{1}{6}x$
• $B_8(x) = x^8-4x^7+\dfrac{14}{3}x^6-\dfrac{7}{3}x^4+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{1}{30}$
• $B_9(x) = x^9-\dfrac{9}{2}x^8+6x^7-\dfrac{21}{5}x^5+2x^3-\dfrac{3}{10}x$
• $B_{10}(x) = x^{10}-5x^9+\dfrac{15}{2}x^8-7x^6+5x^4-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{5}{66}$

$n$ 番目までの $m$ 乗数の和を表す多項式 $S_m(n)$

• $S_0(n) = n$
• $S_1(n) = \dfrac{1}{2}n(n+1)$
• $S_2(n) = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
• $S_3(n) = \dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2$
• $S_4(n) = \dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$
• $S_5(n) = \dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$
• $S_6(n) = \dfrac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)$
• $S_7(n) = \dfrac{1}{24}n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)$
• $S_8(n) = \dfrac{1}{90}n(10n^8+45n^7+60n^6-42n^4+20n^2-3)$
• $S_9(n) = \dfrac{1}{20}n^2(n+1)^2(n^2+n-1)(2n^4+4n^3-n^2-3n+3)$
• $S_{10}(n) = \dfrac{1}{66}n(6n^{10}+33n^9+55n^8-66n^4-33n^2+5)$

• 数列: ベルヌーイ数, オイラー数など.
• 不定方程式の解: (半角) アイゼンシュタインの $3$ つ組など.