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不等式の整数解

不等式の整数解

問題《$1$ 未満のエジプト分数の最大値》

(A)
連立不等式 \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y} < 1\ \cdots [1], \quad 0 < x < y\ \cdots [2]\] の整数解について, $[1]$ の左辺の最大値を求めよ.
(B)
連立不等式 \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} < 1\ \cdots [1], \quad 0 < x < y < z\ \cdots [2]\] の整数解について, $[1]$ の左辺の最大値を求めよ.
(参考: $2006$ 富山大)
実戦先例$2018/11/09$$2022/04/28$

解答例

(A)
整数 $x,$ $y$ が $[1],$ $[2]$ を満たすとして, $S = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ とおく. $y > 0$ から $\dfrac{1}{y} > 0$ であるので, $x = 1$ は不適で, $x \geqq 2$ である. $x < y$ から $\dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{x}$ であるので, $[1]$ から \[\frac{2}{y} = \frac{1}{y}+\frac{1}{y} < S < 1\] が成り立つ. よって, $y > 2$ から, $y \geqq 3$ である. $S$ は, $x,$ $y$ に関してそれぞれ単調減少であるから, $(x,y) = (2,3)$ のとき最大値 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ をとる.
(B)
整数 $x,$ $y,$ $z$ が $[1],$ $[2]$ を満たすとして, $S = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ とおく. $y,$ $z > 0$ から $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} > 0$ であるので, $x = 1$ は不適で, $x \geqq 2$ である. これと $y > x$ から, $y \geqq 3$ であることが必要である.
(i)
$x = 2,$ $y = 3$ のとき. $[1]$ から \[ S = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{z} < 1\] であるので, $\dfrac{1}{z} < \dfrac{1}{6},$ $z > 6$ つまり $z \geqq 7$ である. $S$ は $x,$ $y,$ $z$ に関してそれぞれ単調減少で, $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{7} = \dfrac{41}{42} < 1$ であるから, $S$ は $(x,y,z) = (2,3,7)$ のとき最大値 $\dfrac{41}{42}$ をとる.
(ii)
$x = 2,$ $y \geqq 4$ のとき. $[2]$ から $z \geqq 5$ であり, $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5} = \dfrac{19}{20} < 1$ であるから, $S$ は $(x,y,z) = (2,4,5)$ のとき最大値 $\dfrac{19}{20}$ をとる.
(iii)
$x \geqq 3$ のとき. $[2]$ から $y \geqq 4,$ $z \geqq 5$ であり, $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5} = \dfrac{47}{60} < 1$ であるから, $S$ は $(x,y,z) = (3,4,5)$ のとき最大値 $\dfrac{47}{60}$ をとる.
$\dfrac{47}{60} < \dfrac{19}{20} < \dfrac{41}{42}$ から, $S$ は $(x,y,z) = (2,3,7)$ のとき最大値 $\dfrac{41}{42}$ をとる.

参考

  • 古代エジプトでは, 整数でない有理数を表すとき, $\dfrac{2}{3}$ を唯一の例外として, 相異なる「単位分数」(分子が $1$ の分数, unit fraction) の和として表した. このように表された有理数を「エジプト分数」(Egyptian fraction) と呼ぶ. 「エジプト分数」は, 中世までヨーロッパで広く使われていた.
  • $S_n = \dfrac{1}{x_1}+\cdots +\dfrac{1}{x_n}$ ($x_k$: 整数, $0 < x_1 < \cdots < x_n,$ $S_n < 1$) の最大値を与える整数の値 $(x_1,\cdots,x_n) = (s_1,\cdots,s_n)$ について, $S_{n+1}$ は同じ整数の値 $(x_1,\cdots,x_n) = (s_1,\cdots,s_n)$ と $s_{n+1} = s_1\cdots s_n+1$ なる整数の値 $x_{n+1} = s_{n+1}$ で最大値をとるという「カーティスの定理」(Curtiss' theorem) が知られている. 数列 $\{ s_n\}:2,$ $3,$ $7,$ $43,$ $1807,$ $\cdots$ は「シルヴェスター数列」(Sylvester's sequence) と呼ばれる (こちらを参照).
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