図形と方程式の他の問題
図形と方程式の他の問題
問題《多項式の零点集合の和集合と共通部分》
実数係数多項式 $f = f(x,y)$ について, 方程式 $f(x,y) = 0$ の表す $xy$ 平面上の図形を $V(f)$ で表す.
$0$ でない実数係数多項式 $f_1 = f_1(x,y),$ $f_2 = f_2(x,y)$ をともに割り切る次数最大の実数係数多項式の $1$ つを $g = g(x,y)$ とする.
- (A)
- $V(f_1)\cup V(f_2) = V(f_1f_2)$
- (B)
- $V(f_1)\cap V(f_2) = V(g)$
解答例
- (A)
- 点 $(a,b)$ に対して
が成り立つから, \[ V(f_1)\cup V(f_2) = V(f_1f_2)\] である.
$(a,b) \in V(f_1)\cup V(f_2)$ $\iff$ $f_1(a,b) = 0$ または $f_2(a,b) = 0$ $\iff$ $f_1(a,b)f_2(a,b) = 0$ $\iff$ $(a,b) \in V(f_1f_2)$ - (B)
- (i)
- $(a,b) \in V(f_1)\cap V(f_2)$ つまり $f_1(a,b) = 0$ かつ $f_2(a,b) = 0$ とすると, \[\begin{aligned} g(a,b) &= f_1(a,b)p_1(a,b)+f_2(a,b)p_2(a,b) \\ &= 0\cdot p_1(a,b)+0\cdot p_2(a,b) \\ &= 0 \end{aligned}\] となるから, $(a,b) \in V(g)$ となる. よって, $V(f_1)\cap V(f_2) \subset V(g)$ である.
- (ii)
- $f_1(x,y),$ $f_2(x,y)$ は実数係数多項式 $q_1 = q_1(x,y),$ $q_2 = q_2(x,y)$ を用いて \[ f_1 = gq_1, \quad f_2 = gq_2\] と表される. $(a,b) \in V(g)$ つまり $g(a,b) = 0$ とすると, \[\begin{aligned} f_1(a,b) &= g(a,b)q_1(a,b) = 0\cdot q_1(a,b) = 0, \\ f_2(a,b) &= g(a,b)q_2(a,b) = 0\cdot q_2(a,b) = 0 \end{aligned}\] となるから, $(a,b) \in V(f_1)\cap V(f_2)$ となる. よって, $V(f_1)\cap V(f_2) \supset V(g)$ である.
参考
多項式 $f(x_1,\cdots,x_n)$ について, 方程式 $f(x_1,\cdots,x_n) = 0$ の表す図形を $f(x_1,\cdots,x_n)$ の「零点集合」(set of zeros) と呼ぶ.
このような図形を中心に扱う「代数幾何学」(algebraic geometry) では, 「環」の「イデアル」(こちらを参照) の概念を用いて,「ザリスキー位相」(Zariski topology) が本問で示したような性質 (共通部分については無限個の場合を許すなど一般化が必要) をもとに定義される.