円に内接する凸多角形
三角形
定理《ヘロンの公式》
$\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおく.
このとき,
\[\triangle\mathrm{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
が成り立つ.
証明
こちらを参照.
四角形
定理《円に内接する四角形の特徴付け》
すべての四角形 $Q$ に対して,
$Q$ は円に内接 $\iff$ $Q$ の向かい合う内角の和は $180^\circ$
が成り立つ.
定理《ブラーマグプタの公式》
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $a = \mathrm{AB},$ $b = \mathrm{BC},$ $c = \mathrm{CD},$ $d = \mathrm{DA},$ $s = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおく.
このとき, 四角形の面積 $S$ は
\[ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\]
と表される.
証明
こちらを参照.
高校数学の問題
数学 I: 図形と計量
問題《ヘロンの公式とブラーマグプタの三角形》
$\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおく.
このとき,
\[\triangle\mathrm{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
が成り立つことを示せ.
解答例
こちらを参照.
問題《ブラーマグプタの公式》
円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $a = \mathrm{AB},$ $b = \mathrm{BC},$ $c = \mathrm{CD},$ $d = \mathrm{DA},$ $s = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおく.
このとき, 四角形の面積 $S$ は
\[ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\]
と表されることを示せ.
解答例
こちらを参照.