有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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多項式の演算

多項式の展開

問題《$x^n\pm y^n$ の因数分解》

(1)
$n$ を正の整数とする. \[ x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+\cdots +x^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1})\] が成り立つことを, 右辺を展開することにより示せ.
(2)
$n$ を正の奇数とする. \[ x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}-\cdots +(-1)^kx^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1})\] が成り立つことを示せ.
標準定理$2022/10/01$$2022/10/01$

解答例

(1)
右辺を展開して整理すると, \[\begin{aligned} &(x-y)(x^{n-1}+\cdots +x^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1}) \\ &= x^n+x^{n-1}y+\cdots +xy^{n-1} \\ &\qquad\ \,-x^{n-1}y-\cdots -xy^{n-1}-y^n \\ &= x^n-y^n \end{aligned}\] が得られる.
(2)
$n$ が奇数のとき, $(-y)^n = -y^n,$ $(-y)^k = (-1)^ky^k$ であるから, (1) において $y$ を $-y$ で置き換えると, \[ x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}-\cdots +(-1)^kx^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1})\] が得られる.

因数分解

問題《ソフィー・ジェルマンの恒等式》

 $x^4+4y^4$ を因数分解せよ.
実戦定理$2022/09/26$$2022/09/26$

解答例

 与式に $4x^2y^2-4x^2y^2 = 0$ を加えて変形すると, \[\begin{aligned} x^4+4y^4 &= (x^4+4x^2y^2+4y^4)-4x^2y^2 \\ &= (x^2+2y^2)^2-(2xy)^2 \\ &= (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2) \end{aligned}\] が得られる.

参考

 等式 $x^4+4y^4 = (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$ は「ソフィー・ジェルマンの恒等式」(Sophie Germain's identity) として知られている.
問題一覧 (数と式)間接証明法 集合 多項式の演算
実数の大小関係・絶対値 平方根
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