多項式の演算
多項式の展開
問題《$x^n\pm y^n$ の因数分解》
- (1)
- $n$ を正の整数とする. \[ x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+\cdots +x^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1})\] が成り立つことを, 右辺を展開することにより示せ.
- (2)
- $n$ を正の奇数とする. \[ x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}-\cdots +(-1)^kx^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1})\] が成り立つことを示せ.
解答例
- (1)
- 右辺を展開して整理すると, \[\begin{aligned} &(x-y)(x^{n-1}+\cdots +x^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1}) \\ &= x^n+x^{n-1}y+\cdots +xy^{n-1} \\ &\qquad\ \,-x^{n-1}y-\cdots -xy^{n-1}-y^n \\ &= x^n-y^n \end{aligned}\] が得られる.
- (2)
- $n$ が奇数のとき, $(-y)^n = -y^n,$ $(-y)^k = (-1)^ky^k$ であるから, (1) において $y$ を $-y$ で置き換えると, \[ x^n+y^n = (x+y)(x^{n-1}-\cdots +(-1)^kx^{n-1-k}y^k+\cdots +y^{n-1})\] が得られる.
因数分解
問題《ソフィー・ジェルマンの恒等式》
$x^4+4y^4$ を因数分解せよ.
解答例
与式に $4x^2y^2-4x^2y^2 = 0$ を加えて変形すると,
\[\begin{aligned}
x^4+4y^4 &= (x^4+4x^2y^2+4y^4)-4x^2y^2 \\
&= (x^2+2y^2)^2-(2xy)^2 \\
&= (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)
\end{aligned}\]
が得られる.
参考
等式 $x^4+4y^4 = (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$ は「ソフィー・ジェルマンの恒等式」(Sophie Germain's identity) として知られている.