(1)

$I$ において $f'(x) \geqq 0$ が成り立つとする. 　$x_1,$ $x_2 \in I,$ $x_1 < x_2$ のとき, $x_1 < x < x_2$ なる実数 $x$ をとると, 平均値の定理により, $x_1 < c_1 < x < c_2 < x_2$ なるある実数 $c_1,$ $c_2$ に対して \[\begin{aligned} f(x)-f(x_1) &= f'(c_1)(x-x_1) \geqq 0, \\ f(x_2)-f(x) &= f'(c_2)(x_2-x) \geqq 0 \end{aligned}\] となるから, $f(x_1) \leqq f(x) \leqq f(x_2)$ が成り立つ. ゆえに, $f(x)$ は $I$ において単調増加である.

(2)

(1) と同様である.

(1)

(i), (ii) を仮定する. $x > a$ なる各実数 $x$ に対して, $f(x)$ は閉区間 $[a,x]$ において連続で, 解区間 $(a,x)$ において微分可能であるから, 平均理の定理により, \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c)\] つまり \[ f(x) = f(a)+(x-a)f'(c)\] を満たす実数 $c$ が $a < c < x$ の範囲に存在する. (ii) から $f'(x)$ は $x \geqq a$ において単調増加であるので, このとき \[ f'(c) > f'(a)\] であり, \[ f(x) > f(a)+(x-a)f'(a) \quad \cdots [1]\] が成り立つ. さらに, (i) から $f'(a) > 0$ であるので, \[\lim\limits_{x \to \infty}(x-a)f'(a) = \infty \quad \cdots [2]\] が成り立つ. ゆえに, $[1]$, $[2]$ から, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ が成り立つ.

(2)

$f(x) = e^{-x}$ として, $a$ を任意の実数とすると, \[ f'(x) = -e^{-x}, \quad f''(x) = e^{-x} > 0\ (x \geqq a)\] となって (ii) が成り立つが, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = 0$ となり, (iii) は成り立たない.

(1)

(i)

点 $\mathrm P$ が第 $1$ 象限にあるとき. 点 $\mathrm R$ の $x$ 座標は, 点 $\mathrm Q$ の $x$ 座標に等しいから, 直角三角形 $\mathrm{OAQ}$ に着目すると, \[ x = \mathrm{AQ} = a\tan\theta\] が得られる. また, 点 $\mathrm R$ の $y$ 座標は, 点 $\mathrm P$ の $y$ 座標に等しいから, \[\mathrm{OP} = 2\cdot\frac{a}{2}\cos\theta = a\cos\theta\] (等辺の長さが $\dfrac{a}{2},$ 底角の大きさが $\theta$ の二等辺三角形の底辺の長さ) であることに注意して, 点 $\mathrm P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足 $\mathrm H$ を頂点とする直角三角形 $\mathrm{OHP}$ に着目すると, \[ y = \mathrm{HP} = \mathrm{OP}\cos\theta = a\cos ^2\theta\] 得られる. よって, 点 $\mathrm R$ の座標は \[ (a\tan\theta,a\cos ^2\theta ) \quad \cdots [1]\] で表される.

(ii)

点 $\mathrm P$ が第 $2$ 象限にあるとき. 円の対称性により曲線 $C$ も $y$ 軸に関して対称であるから, 点 $\mathrm R$ の座標は $[1]$ で表される.

(iii)

$\mathrm P = \mathrm A$ のとき. 点 $\mathrm R$ の座標 $(0,a)$ は $[1]$ で表される.

(i)～(iii) から, 点 $\mathrm R$ が描く曲線 $C$ は \[ x = a\tan\theta, \quad y = a\cos^2\theta\] で表される.

(2)

$\cos ^2\theta = \dfrac{1}{1+\tan ^2\theta}$ に $\cos ^2\theta = \dfrac{y}{a},$ $\tan\theta = \dfrac{x}{a}$ を代入すると, 求める $C$ の方程式

$\dfrac{y}{a} = \dfrac{1}{1+\dfrac{x^2}{a^2}}$　つまり　$y = \dfrac{a^3}{a^2+x^2}$

が得られる.

(3)

$x$ の関数 $y = \dfrac{a^3}{a^2+x^2}$ について, \[\begin{aligned} y' &= -\frac{2a^3x}{(a^2+x^2)^2}, \\ y'' &= -2a^3\cdot\frac{1\cdot (a^2+x^2)^2-x\cdot 2(a^2+x^2)\cdot 2x}{(a^2+x^2)^4} \\ &= \frac{2a^3(3x^2-a^2)}{(a^2+x^2)^3} \end{aligned}\] であるから, \[\begin{aligned} y' \geqq 0 &\iff x \leqq 0, \\ y' \leqq 0 &\iff x \geqq 0, \\ y'' \geqq 0 &\iff x \leqq -\frac{a}{\sqrt 3},\ \frac{a}{\sqrt 3} \leqq x, \\ y'' \leqq 0 &\iff -\frac{a}{\sqrt 3} \leqq x \leqq \frac{a}{\sqrt 3} \end{aligned}\] が成り立つ. よって, 曲線 $C$ の凹凸は次の表のようになる.

$x$	$\cdots$	$-\dfrac{a}{\sqrt 3}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{a}{\sqrt 3}$	$\cdots$
$y'$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$y''$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$y$		変曲点 $\dfrac{3}{4}a$		極大 $a$		変曲点 $\dfrac{3}{4}a$

さらに, \[\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{a^3}{a^2+x^2} = 0\] であるから, 曲線 $C$ の概形は次のようになる.

　$h(x) = g(x)-f(x)$ とおく. このとき, \[ g(x) = f'(a)(x-a)+f(a)\] であるから, \[ h'(x) = f'(a)-f'(x) = -\{ f'(x)-f'(a)\}, \quad h(a) = 0\] となる. よって, 区間 $I$ において,

$f''(x) \leqq 0$ $\iff f'(x)$ は単調減少

$\iff \begin{cases} h'(x) \geqq 0 & (x \leqq a), \\ h'(x) \leqq 0 & (x \geqq a) \end{cases}$

$\iff$ $h(x)$ は $x = a$ で極小かつ最小の値をとる

$\Longrightarrow h(x) \geqq h(a)$ $\iff$ $h(x) \geqq 0$

$\iff f(x) \leqq g(x)$

が成り立つ.

　曲線 $C$ に $2$ 点 $(\alpha,f(\alpha )),$ $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha < \beta )$ で接する直線の存在を仮定する. このとき, \[\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha} = f'(\alpha ) = f'(\beta )\] が成り立つ. また, 平均値の定理により \[\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha} = f'(\gamma ), \quad \alpha < \gamma < \beta\] を満たす実数 $\gamma$ が存在する. $C$ が線分である部分をもたないという仮定から, $(\alpha,\gamma ),$ $(\gamma,\beta )$ の各区間において, 常に $f''(x) = 0$ となることはない. さらに, $f'(\alpha ) = f'(\gamma ) = f'(\beta )$ と $f''(x)$ の連続性により, これらの各区間において, $f''(x) > 0$ となる $x$ があれば $f''(x) < 0$ となる $x$ があり, $f''(x) < 0$ となる $x$ があれば $f''(x) > 0$ となる $x$ がある. よって, ある実数 $x_1,$ $x_2$ $(\alpha < x_1 < \gamma < x_2 < \beta )$ の前後で, それぞれ $f''(x)$ の符号が変化する. ゆえに, $y = f(x)$ は少なくとも $2$ つの変曲点 $(x_1,f(x_1)),$ $(x_2,f(x_2))$ をもつ.

　$f(x)-g(x) = a(x-\alpha )^2(x-\beta )^2,$ $g(x) = mx+n$ ($a,$ $m,$ $n$: 実数, $a,$ $m \neq 0$) とおく. このとき, \[\begin{aligned} f(x) &= a(x-\alpha )^2(x-\beta )^2+mx+n, \\ f'(x) &= a\{ 2(x-\alpha )\cdot (x-\beta )^2+(x-\alpha )^2\cdot 2(x-\beta )\} +m \\ &= 2a(x-\alpha )(x-\beta )(2x-\alpha -\beta )+m, \\ f''(x) &= 2a\{ 1\cdot (x-\beta )\cdot (2x-\alpha -\beta ) \\ &\qquad +(x-\alpha )\cdot 1\cdot (2x-\alpha -\beta ) \\ &\qquad +(x-\alpha )\cdot (x-\beta )\cdot 2\} \\ &= 2a\{ 6x^2-6(\alpha +\beta )x+\alpha ^2+4\alpha\beta +\beta ^2\}, \\ f'''(x) &= 12a(2x-\alpha -\beta ) \end{aligned}\] であるから, $f'''(x) = 0$ の解 $\gamma$ は \[\gamma = \dfrac{\alpha +\beta}{2}\] であり, \[ f'(\gamma ) = 2a(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )(2\gamma -\alpha -\beta )+m = m\] が成り立つ. ゆえに, $C$ の接線 $l$ の傾きは $m = f'(\gamma )$ と表される.

　$h(x) = f(x)-g(x) = a(x-\alpha )^2(x-\beta )^2,$ $g(x) = mx+n$ ($a,$ $m,$ $n$: 実数, $a,$ $m \neq 0$) とおく. このとき, \[\begin{aligned} h'(x) &= a\{ 2(x-\alpha )\cdot (x-\beta )^2+(x-\alpha )^2\cdot 2(x-\beta )\} \\ &= 2a(x-\alpha )(x-\beta )(2x-\alpha -\beta ) \end{aligned}\] から, $\gamma = \dfrac{\alpha +\beta}{2}$ は $h'(\gamma ) = 0$ を満たす. \[ h'(\alpha ) = h'(\gamma ) = h'(\beta ) = 0, \quad \alpha < \gamma < \beta\] であるから, $3$ 次関数 $y = h'(x)$ のグラフの対称性により $(\gamma,h'(\gamma ))$ は $y = h'(x)$ のただ $1$ つの変曲点である. よって, $\gamma$ は $h'''(\gamma ) = 0$ を満たし, また $g'(x) = m,$ $g''(x) = g'''(x) = 0$ であるから \[ f'''(\gamma ) = g'''(\gamma )+h'''(\gamma ) = 0\] であり, \[ f'(\gamma ) = g'(\gamma )+h'(\gamma ) = m\] が成り立つ.